高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.2基本不等式知识导航学案新人教a版选修4

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1、1.1.2基本不等式知识梳理1.基本不等式如果___________，那么,当且仅当___________时，等号成立.___________称为a,b的算术平均，___________称为a,b的几何平均.基本不等式可以表述为：两个正数的___________不小于它们的___________.2基本不等式的几何意义直角三角形斜边上的___________不小于斜边上的___________.3重要不等式如果a,b∈___________，那么a2+b2≥2ab，当且仅当___________时，等号成

2、立.4重要的不等式链（1）ab≤()2≤≤a2+b2（a,b∈R）;（2）设0

3、后者要求a,b都是正数.有些同学易忽略这一点，例如：（-1）2+（-4）2≥2×(-1)×(-4)成立，而不成立.(2)这两个公式都带有等号，应从两方面理解，“当且仅当……取‘=’号”这句话：①当a=b时取等号，其意义是a=b;②仅当a=b时取等号,其意义是a=b.综合起来，其意义是：a=b是成立的充要条件.2.利用算术平均与几何平均的定理求某些函数的最值时应注意两点：(1)函数式中，各项必须都是正数，例如对于函数式x+，当x<0时，x+≥2不成立.因此，x+的最小值不是2.事实上,当x<0时,-x>0,

4、>0,∴-(x+)=(-x)+1(-x)≥2.∴x+≤-2.∴x+有最大值-2,x=-1时取最大值-2.(2)函数式中，含变量的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值.利用基本不等式的条件可以概括为：一正，二定，三相等.三者缺一不可.疑难突破1认识基本不等式中的数a,b在利用基本不等式时，要准确定位其中的“数”.例如在试题“已知2x+y=1,x,y∈R+，求xy的最大值.”中“两个数”不是“x”与“y”，而是已知条件中的“2x”与“y”

5、，这是因为定值是“2x+y=1”，而“x+y”不是定值.因而要求xy的最大值应视作求(2x)·y的最大值.即xy=(2x)·y≤×（）2=.定位准确基本不等式中的“数”是使用基本不等式的大前提.再如：在“设实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3，求ax+by的最大值.”中要求的“ax+by”，似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值.ax+by≤=2.但是这种解法不正确，这四个数分两组在使用基本不等式，不符合使用的条件，本题中取“=”的条件是这与a2+b2=1与x2+y2=3矛盾.因此正确的解法

6、应是三角换元法：令a=cosα,b=sinα,x=cosβ,y=sinβ,∴ax+by=cosα·cosβ+sinα·sinβ=(cosαcosβ+sinαsinβ)=cos(α-β)≤.∴ax+by的最大值是.2求最值问题要选择合适的重要不等式在本节中，有几个重要的不等式链，这就要求必须选择合适的重要不等式及其变形式去解题，如上面例子中：xy=×2x·y≤()=.用的是不等式链中的ab≤()2.但是，xy=12×2x·y≤12×,也可以.这两种解法比较，可发现，求得的最值不一样，这说明不同的重要不等式的

7、变形式，求得的值或范围是不同的，所以我们在选择重要不等式的变形式时，要使“放缩尺度”恰当，不能“跨越式”地使用不等式链.