2018-2019高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式学案 新人教A版选修4-5

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1、1.1.2基本不等式预习案一、预习目标及范围1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．2．理解定理1和定理2(基本不等式)．3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．二、预习要点教材整理1　两个定理及算数平均与几何平均1．两个定理定理内容等号成立的条件定理1a2＋b2≥(a，b∈R)当且仅当时，等号成立定理2≥(a，b＞0)当且仅当时，等号成立2.算术平均与几何平均如果a，b都是正数，我们称为a，b的算术平均，为a，b的几何平均．教材整理2　利用基本不等式求最值已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则(1)如果P是，那么当且仅当时，S取得最小值；(

2、2)如果S是，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值.三、预习检测1．下列不等式中，正确的个数是(　　)①若a，b∈R，则≥；②若x∈R，则x2＋2＋≥2；③若x∈R，则x2＋1＋≥2；④若a，b为正实数，则≥.A．0B．1C．2D.32．若x≠0，则f(x)＝2－3x2－的最大值是________，取得最值时x的值是________.3．已知a，b是正数，求证：(1)≥；(2)≥.探究案一、合作探究题型一、利用基本不等式证明不等式例1已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.【精彩点拨】　观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．[再练一题]1．已知x，

3、y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.题型二、利用基本不等式求最值例2设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．【精彩点拨】　由条件表示y，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．[再练一题]2．已知x>0，y>0，且＋＝1，试求x＋y的最小值.题型三、基本不等式的实际应用例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年

4、销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【精彩点拨】　(1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式

5、列出函数表达式．利用基本不等式求最值．[再练一题]3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)?题型四、基本不等式的理解与判定例4命题：①任意x>0，lgx＋≥2；②任意x∈R，ax＋≥2；③任意x∈，tanx＋≥2；④任意x∈R，sinx＋≥2.其中真命题有(　　)A．③B．③④C．②③D.①②③④

6、【精彩点拨】　按基本不等式成立的条件进行判定．[再练一题]4．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.＋≥2二、随堂检测1．下列结论中不正确的是(　　)A．a＞0时，a＋≥2B.＋≥2C．a2＋b2≥2abD.a2＋b2≥【解析】　选项A，C显然正确；选项D中，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab≥0，∴a2＋b2≥成立；而选项B中，＋≥2不成立，因为若ab＜0，则不满足不等式成立的条件．【答案】　B2．下列各式中，最小值等于2的是(　　)A.＋B.C．tanθ＋D.2x＋2－x【

7、解析】　∵2x＞0,2－x＞0，∴2x＋2－x≥2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．故选D.【答案】　D3．已知＋＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是(　　)A．15B．6C．60D.1【解析】　∵＋≥2(当且仅当x＝10，y＝6时，取等号)，∴2≤1，∴xy≥60，故xy的最小值为60.【答案】　C参考答案预习检测：1.【解析】　显然①不正确；③正确；对于②，虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋＞2成立，故②正确；④不正确，如a＝1，b＝4.【答案】　C2.【解析】　f(x)＝2－3≤2－3×4＝－10，当且仅当x2＝，即x＝±时取等号．【答案

8、】　－10　±3.【证明