2018-2019高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式教案 新人教A版选修4-5

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1、1.1.2基本不等式一、教学目标1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．2．理解定理1和定理2(基本不等式)．3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．二、课时安排1课时三、教学重点理解定理1和定理2(基本不等式)．四、教学难点掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．五、教学过程（一）导入新课已知lgx＋lgy＝2，则＋的最小值为______．【解析】　∵lgx＋lgy＝2，∴x＞0，y＞0，lg(xy)＝2，∴xy＝102，∴＋≥2＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．【答案】　（二）讲授新课

2、教材整理1　两个定理及算数平均与几何平均1．两个定理定理内容等号成立的条件定理1a2＋b2≥(a，b∈R)当且仅当时，等号成立定理2≥(a，b＞0)当且仅当时，等号成立2.算术平均与几何平均如果a，b都是正数，我们称为a，b的算术平均，为a，b的几何平均．教材整理2　利用基本不等式求最值已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则(1)如果P是，那么当且仅当时，S取得最小值；(2)如果S是，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值.（三）重难点精讲题型一、利用基本不等式证明不等式例1已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋

3、c.【精彩点拨】　观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．【自主解答】　∵a>0，b>0，c>0，∴＋b≥2＝2a，同理：＋c≥2b，＋a≥2c.三式相加得：＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥a＋b＋c.规律总结：1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．[再练一题]1．已知x，y，z均为正数，

4、求证：＋＋≥＋＋.【证明】　∵x，y，z都是正数，∴＋＝≥.同理可得＋≥，＋≥.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.题型二、利用基本不等式求最值例2设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．【精彩点拨】　由条件表示y，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．【自主解答】　由x－2y＋3z＝0，得y＝，∴＝＝≥＝3.当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.【答案】　3规律总结：1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对

5、目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键．[再练一题]2．已知x>0，y>0，且＋＝1，试求x＋y的最小值.【解】　∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝16.当且仅当＝，即y＝3x时等号成立．又＋＝1，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.题型三、基本不等式的实

6、际应用例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利

7、润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【精彩点拨】　(1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．利用基本不等式求最值．【自主解答】　(1)由题意可设3－x＝(k＞0)，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.当年生产x万件时，年生产成本为32x＋3＝32×＋3.当销售x万件时，年销售收入为150%×＋t.由题意，生产x万件

8、化妆品正好销完，得年利润y＝(t≥0)．(2)y＝＝50－≤50－2＝50－2＝42，当且仅当＝，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，∴当促销费定在7万元时，年利润最大．规律总结：[再练一题]3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高