高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.1 不等式的基本性质课堂学案 新人教A版选修.doc

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1、1.1.1不等式的基本性质（1）课堂导学三点剖析一、不等式性质的应用【例1】已知a>b,cb-d.证法一：∵a>b,c0,d-c>0.∴(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0.∴a-c>b-d.证法二：∵c-d.又∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.温馨提示证法一利用了实数大小比较的符号法则,也称作差法,这是证明不等式的基本方法,不等式性质定理的证明也是用此法.证法二是直接利用了不等式性质定理,即同向不等式的可加性.不等式的性

2、质是证明不等式和解不等式的理论依据,应正确地熟练应用.各个击破类题演练1若a>b>0,求证:a2>ab>b2.证明:∵a>b,∴a-b>0.又∵a>0,∴a(a-b)>0.∴a2-ab>0.∴a2>ab.又∵a>b,∴a-b>0.又b>0,∴b(a-b)>0.∴ab-b2>0.∴ab>b2.据不等式的传递性,即a2>ab>b2.变式提升1若a,b,c,d∈R+,且求证:.证明:∵a,b,c,d∈R+,且,∴<0.∴ad-bc<0.由>0,可得.又∵<0,可得.∴成立.二、实数大小比较的方法——作差法【例2】设

3、a>0,b>0,求证:≥a+b.证明：-(a+b)=.=∵a>0,b>0,∴a+b>0,ab>0,(a-b)2≥0.∴≥a+b.温馨提示作差法是比较两个实数大小的重要方法,利用作差法比较两个实数的大小,一般有如下步骤:第一步:作差;第二步:变形.常采用因式分解,配方等恒等变形手段,将“差”化成“积”;第三步:定号.就是确定是大于0,等于0,还是小于0.最后得出结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.类题演练2已知a≥1,比较M=与N=的大小.解析:M-N=()-()=.∵a≥1,∴,

4、即<0.又0,>0,∴M-N<0,即Mx4+x2.三、应用不等式性质解题常见错误剖析【例3】已知00,∴>a2.∴a

5、2<之间不具备传递性,不能用性质2.正解：∵a-=<0,∴a<.又a-a2=a(1-a)>0,∴a>a2.∴a20,a≠1,m>n>0,比较A=am+和B=an+的大小.错解:∵A-B=(am+)-(an+)=(am-an)+(-),又∵m>n>0,∴am>an,>.∴A

6、>B.正解:A-B=(am-an)+（-)=.故当00,即A>B;当a>1时,am>an,am+n>1,∴A-B>0,即A>B.综上所述A>B.变式提升3设a≠b,试比较(a4+b4)(a2+b2)与(a3+b3)2的大小.错解:(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a6+a4b2+a2b4+b6-a6-2a3b3-b6=a2b2(a-b)2.∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2b2(a-b)2>0.因此(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2.

7、正解:(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a2b2(a-b)2.当ab=0时,(a4+b4)(a2+b2)=(a3+b3)2;当ab≠0时,(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2;故(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2.