2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式讲义（含解析）

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1、1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则a＋b≤a＋b，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有a＋b

2、，B，C，当点B在点A，C之间时，a－c＝a－b＋b－c.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，a－c＝a－b＋b－c；②点B不在A，C上时，a－c

3、简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式a－b≤a±b≤a＋b，通过适当的添、拆项证明；(2)综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．以下四个命题：①若a，b∈R，则a＋b－2a≤a－b；②若a－b<1，则a3，则<；④若AB≠0，则lg≥(lgA＋lgB)．其中正确的命题有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：选A∵a＋b＝(b－a)＋2a≤b－a＋2a＝a－b＋2a，∴a＋b－2a≤a－b，①正确；∵1>a－b≥

4、a－b，∴a3，∴<.又∵x<2，∴<，③正确；2＝(A2＋B2＋2AB)≥(2AB＋2AB)＝AB，∴2lg≥lgAB.∴lg≥(lgA＋lgB)，④正确．2．已知a，b∈R且a≠0，求证：≥－.证明：①若a>b，左边＝＝≥＝.∵≤，≤，∴＋≤.∴左边≥＝右边．②若a0，右边<0，∴原不等式显然成立．③若a＝b，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立.绝对值三角不等式的应用[例2](1)求函数y＝x－3－x＋1的最大值和最小值．(2)如果关于x的不等式x－3＋x－4＜a的解集为空集，求实数a的取值范围．[思路点拨]利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解

5、．[解](1)法一：x－3－x＋1≤(x－3)－(x＋1)＝4，∴－4≤x－3－x＋1≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.法二：把函数看作分段函数．y＝x－3－x＋1＝∴－4≤y≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.(2)只要a不大于x－3＋x－4的最小值，则x－3＋x－4＜a的解集为空集，而x－3＋x－4＝x－3＋4－x≥x－3＋4－x＝1，当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立．∴当3≤x≤4时，x－3＋x－4取得最小值1.∴a的取值范围为(－∞，1]．(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成

6、立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且a≤3，b≤2，则a＋b的最大值是________，最小值是________．解析：∵a－b≤a＋b≤a＋b，∴1＝3－2≤a＋b≤3＋2＝5.答案：514．已知定义在R上的函数f(x)＝x＋1＋x－5的最小值为a，求a的值．解：因为x＋1＋x－5≥(x＋1)－(x－5)＝6，当且仅当－1≤x≤5时，等号成立，所以f(x)的最小值等于6，即a＝6.5．若对任意实数，不等式x＋1－x－2>a恒成立，求a的取值范围．解：∵a

7、－x－2≤3.∴(x＋1－x－2)min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．1．对于a－b≤a＋b≤a＋b，下列结论正确的是()A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立解析：选B当a，b异号且a>b时左边等号才成立，故A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不