解析初三数学中的双动点问题

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1、解析初三数学中的双动点问题河北省乐亭县新寨镇新寨初级中学刘卫忠动点问题属于动态问题，所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题。关键：动中求静。数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想。注重对几何图形运动变化能力的考查，从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究

2、能力，促进培养学生解决问题的能力。图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。此次，针对中考动点问题中涉及到的关于几个方面的类型，凭多年教学经验，并结合下面中考试题谈谈自己的观点和看法。希望能起到抛砖引玉的作用。专题一：利用两个动点，探究面积与时间之间的变化规律。以直角三角形为背景，综合相似三角形、三角函数、二次函数等知识，体现方程、函数和分类讨论的数学思想。例一：(2010台州)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，

3、Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（第2例题）H（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？【分析】（1）、考察点对称的知识。（2）、三角形相似的证明方法（两角相等两三角形相似）。（3）、分类讨论问题，点D、E位置不同时，△HDE为不同的等腰三角形。【答案】解：（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，∴=9

4、0°，HD=HA，∴，∴△DHQ∽△ABC．（图2）（图1）（2）①如图1，当时，ED=，QH=，此时．当时，最大值．②如图2，当时，ED=，QH=，此时．当时，最大值．∴y与x之间的函数解析式为y的最大值是．（3）①如图1，当时，若DE=DH，∵DH=AH=，DE=，∴=，．显然ED=EH，HD=HE不可能；②如图2，当时，若DE=DH，=，；若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；若ED=EH，则△EDH∽△HDA，∴，，．∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.【涉及知识点】三角函数、二次函数、相似三角形、直角三角形【点评】本题是综合性比较强的问题，它巧妙的运用运动的观点，把相似

5、三角形和三角函数、直角三角形、二次函数等知识结合起来，属于难度较大的问题．专题二：利用坐标系工具探究坐标系中双动点问题规律。以坐标系为背景，最大的优点就是提供了图形和点的具体位置。在坐标系中研究问题，最主要的就是搞清楚各个关键点的坐标，进而利用这些坐标确定三角形的高、底等，可很方便的求三角形的面积。当然，解决坐标系中的问题时，不要离开几何图形本身的性质及利用相似、全等、三角形函数等知识。例二：(2010淮安)如题3(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．(1)点

6、C坐标是(，)，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是(，)；(2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值时，S最大；(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题3(b)图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以点A．O为对应顶点的情况)：题3(a)图题3(b)图【分析】（1）若求点的坐标，可以过该点作x轴的垂线，所以可以借助于平行线等分线段定理解决，求出D和C的坐标；（2）此问题是分类得问题，当点D在不同的边上时，三角形的面积是不同的，然后根据图形之间的关系求出函数解析式，然后根据求最值

7、的问题解决；（3）与（2）一样，只不过借助于三角形相似来解决．【答案】解：（1）C（3，4）、D（9，4）（2）当D在OA上运动时，（0＜t＜6）；当D在AB上运动时，过点O作OE⊥AB，过点C作CF⊥AB，垂足分别为E和F，过D作DM⊥OA，过B作BN⊥OA，垂足分别为M和N，如图：设D点运动的时间为t秒，所以DA=2t－12，BD=22－2t，又因为C为OB的中点，所以BF为△BOE的中位线，所以，又因为