凸函数的2种定义及其等价性初探

《凸函数的2种定义及其等价性初探》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第16卷第4期云南民族大学学报(自然科学版)Vo.l16No.42007年10月JournalofYunnanNationalitiesUniversity(NaturalSciencesEdition)Oct.2007凸函数的2种定义及其等价性初探12谢艳苏敏(1.云南广播电视大学,云南昆明650223;2.云南师范大学,云南昆明650092)摘要讨论一元凸函数2种定义的等价性,得到在半连续函数类中2种定义等价的结论.关键词凸函数;上半连续函数;下半连续函数;等价性=中图分类号>O174.13=文献标识码>A=文章编号>1672)8513(2

2、007)04-0364-04ResearchontheTwoDefinitionsofConvexFunctionandTheirEquivalentRelationXieYanSuMin(1.YunnanRadioandTVUniversity,Kunming650223,China)(2.YunnanNormalUniversity,Kunming650092,China)Abstract:Inthispaper,wediscusstheequivalentrelationofthetwodefinitionsofconvexfunctio

3、nandobtaintheconclusionthattwodefinitionsareequivalentintheclassofsem-icontinuousfunction.Keywords:convexfunction;uppersem-icontinuousfunction;lowersem-icontinuousfunction;equivalentre-lation.的中点之上.定义2的几何意义是函数曲线f(x)1基本概念上任意2点间的弦始终位于2点间弧的上方.定义设(a,b)

4、b)内有意义,它未必是连续

5、(1-K)f(y)1证明:定义2]定义1,显然,令K=即可.(2)2成立,则称f(x)为(a,b)内的凸函数.定义1]定义2:Px,yI(a,b)及有理数KI(0,1)用二进制表示2主要结果K为:n不同定义下的凸函数是互不相同的2个概念,aiK=0.a1a2,an=Ei,ai=1但它们之间有着内在的联系.这2个定义都是通过i=12解析性给凸函数下定义,定义1是由靳生或0,1FiFn-1,an=1.n(Jensen)1905年给出的,它的几何意义是函数曲bi于是1-K=0.b1b2,bn=Ei,线f(x)上任意2点间弦的中点始终位于2点间弧i=1

6、2*收稿日期:2007-06-18.作者简介:谢艳(1957~),女,硕士,讲师,主要研究方向:非线性分析和数学教育.364第4期谢艳等:凸函数的2种定义及其等价性初探0当ai=1f[Kx+(1-K)y]>Kf(x)+(1-K)f(y)其中:i=1-ai=1FiFn-1,1当ai=0即f[Kx+(1-K)y]-Kf(x)-(1-K)f(y)=bn=1.从而f(aix+biy)Faif(x)+bif(y)11A>0,不妨设0

7、x2nnaibif(Kx+(1-K)y)=fEix+Eiy=代入上式仍可保证0011f(a1x+b1y)+2y(a2x+b2y)+又Pxc,ycI(a,b),有:22xc+ycx

8、c+ycnanF=f-f(x)-1ibib222fEi-1x+Ei-1yF,Fi=32i=32f(y)-f(x)xc+ycn-xF1y-x2Eif(a