凸函数的性质_等价定义及应用

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1、第17卷第2期开封大学学报Vol.17No.22003年6月JOURNALOFKAIFENGUNIVERSITYJun.2003凸函数的性质、等价定义及应用白景华(开封大学公共数理教研室,河南开封475004)摘要:给出了凸函数的定义及性质;研究了凸函数的等价定义及其常用的一些判别方法;探讨了凸函数在证明不等式当中的应用.关键词:凸函数;性质;等价定义;应用中图分类号:O174113文献标识码:A文章编号:1008-343X(2003)02-0059-06在很多数学问题的分析与证明中,我们都需要用到凸函数,例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化

2、理论等当中1常用的凸函数有两种,一种叫上凸函数,即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数;另一种叫下凸函数,即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数.本文试就凸函数的性质、等价定义和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨11凸函数的定义和性质22函数f(x)=x图象的特点是:曲线y=x上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方1我们可以这样定义:设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,若曲线y=f(x)上任意两点间的弧段总位于连接两点的直线之下,则称函数f(x)是凸函数.以上定义只

3、对凸函数作了直观的描述,下面我们给出精确定义1定义1设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,若对[a,b]上任意两点x1,x2和正数KI(0,1),总有f[Kx1+(1-K)x2][Kf(x1)+(1-K)f(x2)成立,则称f(x)为区间[a,b]上的凸函数;若上式仅不等号成立,则称f(x)为区间[a,b]上的严格凸函数.我们先来看看凸函数的运算性质1(1)若f(x)与g(x)均为区间[a,b]上的凸函数,则f(x)+g(x)也是区间[a,b]上的凸函数.证明:Px1,x2I[a,b]和PKI(0,1),因f(x),g(x)都是区间[a,b]上

4、的凸函数,故f[Kx1+(1-K)x2][Kf(x1)+(1-K)f(x2),g[Kx1+(1-K)x2][Kg(x1)+(1-K)g(x2)1两式相加,便得f[Kx1+(1-K)x2]+g[Kx1+(1-K)x2][K[f(x1)+g(x1)]+(1-K)[f(x2)+g(x2)]1由凸函数的定义知f(x)+g(x)也是区间[a,b]上的凸函数.(2)若f(x)为区间[a,b]上的凸函数,则对于K,有Kf(x)也是[a,b]上的凸函数1证明:由于f(x)是区间[a,b]上的凸函数,则PtI(0,1)和Px1,x2I[a,b],有f[tx1+

5、(1-t)x2][tf(x1)+(1-t)f(t2)1上式两端均乘以K(K),可得Kf[tx1+(1-t)x2][Ktf(x1)+K(1-t)f(x2)=tKf(x1)+(1-t)Kf(x2)1由凸函数的定义知Kf(x)是[a,b]上的凸函数1收稿日期:2003-01-06作者简介:白景华(1963-),女,陕西西安人,讲师,主要从事基础数学与应用数学的教学与研究.59(3)设f(x)与g(x)都是[a,b]上的非负单调递增的凸函数,则h(x)=f(x)g(x)也是[a,b]上的凸函数1证明:对Px1,x2I(a,b)且x1

6、,1),因f(x)与g(x)在[a,b]上单调递增,故f(x1)-f(x2)][g(x2)-g(x1)][01即f(x1)g(x2)+f(x2)g(x1)[f(x1)g(x1)+f(x2)g(x2)1¹又因f(x)与g(x)为[a,b]上的凸函数,故f[Kx2+(1-K)x1][Kf(x2)+(1-K)f(x1),g[Kx2+(1-K)x1][Kg(x2)+(1-K)g(x1)1而f(x),g(x),将上面两个不等式相乘,可得2f[Kx2+(1-K)x1]g[Kx2+(1-K)x1][Kg(x2)f(x2)+K(1-K)[f(x2)g(x

7、1)+f(x1)g(x2)]2+(1-K)f(x1)g(x1)1又由¹知22f[Kx2+(1-K)x1]g[Kx2+(1-K)x1][(1-K)f(x1)g(x1)+Kf(x2)g(x2)+K(1-K)[f(x1)g(x1)+f(x2)g(x2)]=(1-K)f(x1)g(x1)+Kf(x2)g(x2)1由凸函数的定义知h(x)=f(x)g(x)是[a,b]上的凸函数.注:1cf(x),g(x)非负不能少122例如f(x)=-1,g(x)=x,xI(0,1)均为凸函数,但h(x)=f(x)g(x)=-x,显然h(x)不是凸函数,原因是f(x)=-

8、1为负12cf(x),g(x)单调递增不能少1223例如f(x)=3-x,g(x)=x在(1,3)上是非负凸函数,但h(x)=f(x)g