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1、凸函数的几个等价定义目录摘要……………………………………………………………………………………11凸函数的定义………………………………………………………………………32凸函数的等价定义和性质…………………………………………………………32.1凸函数的等价定义………………………………………………………………42.2凸函数的性质……………………………………………………………………73凸函数等价定义和性质的应用举例………………………………………………93.1一些集合上的凸函数举例………………………………………………………93.2运用凸函数等价定义证明不等式………………………………………………10
2、总结……………………………………………………………………………………13参考文献………………………………………………………………………………14谢辞……………………………………………………………………………………15凸函数的几个等价定义作者：苏明指导老师：李盈科摘要:凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明
3、等几个方面的应用。关键词：凸函数；等价性；不等式15凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。本文从凸函数的定义出发,先是总结和部分证明了凸函数各种等价定义，归纳了凸函数的相关性质；其次，总结了凸函数的一些应用。1凸函数的定义定义1设为凸集，．如果对于中任意两点与，以及任一实数，恒有则称是凸集上的严格凸函数。 注：若是严格凸函数，则称是严格凹函数，凹函数也可由上述定义的反向不等式来定义。 下图中的和分别是一元凸函数和二元凸函数的直观形象,152凸函数的等价定义和性质函数的凸性与函数的连续性、函数的导数之间
4、存在着密切的联系，为叙述方便起见，下面只限于讨论一元凸函数的性质。2.1凸函数的等价定义定义2设是定义在区间上的函数，若对上的任意两点,,恒有则称为上的凸函数。定义3若在定义上成立不等式（≠）<则称是上严格的凸函数。定义4下面几个定义等价：（1）为区间上的凸函数；（2）对令，则于是有；（3）对，有；（4）对，有15；（5）对，使得。定义5如果在上一阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是：在上单调递增，的图形在某任一点的切线的上方。定义6如果在上二阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是：。定义7可微函数：是凸函数的充要条件是：作为在中任一直线上的一元函数满足单调增。定义8设是非空开凸集，是定义
5、在上的二次可微函数，则是凸函数的充分必要条件是：在的每一点Hesse矩阵半正定,其中为Hesse矩阵。定义9为上的连续凸函数的充分必要条件是：为凸集（水平集）。定义10在上是凸函数的充分必要条件是：对任意定义于上，值域的可积函数，有15，只要右边有意义。2.2凸函数的性质性质1设在区间上为凸函数，对任意，则:时，在区间上为凸函数;时，在区间上为凹函数。性质2设，是间上的凸函数，则其和也是上的凸函数。性质3若设，是间上的凸函数，则为上的凸函数。性质4设是单调递增的凸函数，是凸函数，则复合函数也是凸函数。性质5设为区间上的凹函数，，则为区间上的凸函数，反之不真。性质6若在区间上为凸函数，对任
6、意，则为的内点.则单侧导数皆存在，且。性质7为区间上的凸函数，对任意对任意有15。性质8设是区间上的凸函数，则在的任一闭子区间上有界，，取则(此处)再令，存在关于的对称点，由的凸性得到因此，。性质9设是区间上的凸函数，则在的任一闭子区间上满足Lipschitz条件。3凸函数等价定义的应用举例3.1一些集合上的凸函数凸函数是建立在凸集上的一类函数，以下是相应集合上的凸函数的举例：1.实数域R上的二次函数：；2.Euclid空间Rn上的范数函数：,其中，特别15是Rn上的凸函数。3.Banach空间中凸集S上的距离函数：。4.线形拓扑空间X中凸集S上的Minkowski函数（泛函），。5.线
7、形空间V上的仿射函数：其中。6.线形空间V中凸集S上的指示函数：。3.2运用凸函数等价定义证明不等式3.2.1.Jensen不等式：设在上是凸函数，,，(1)设,有(2)设,有其中。证明：(1)因为,所以为凹函数,于是15即又因为凸函数,于是,即亦即(2)当时,,于是是凸函数.在詹森不等式中令,有于是15得到再对上面不等式两边开次方，便证得。3.2.2闵可夫斯基(Minkowski)不等式:即其中。证明:当时,显然成立。当时,考虑由
