凸函数的定义及有关定理.doc

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1、凸函数的定义及有关定理定义设为区间上的函数.如果,总有则称在上为下凸函数.如果上述不等式中“”改为“＜”,则称在上为严格下凸函数.如果，总有则称在上为上凸函数.如果上述不等式中“”改为“＞”,则称在上为严格上凸函数.定理1设为区间上的二阶可导函数，则在上为下凸(或上凸)函数的充要条件是(或),用定义直接来判断一个函数是不是凸函数,往往是很困难的.但用该定理来判断一个光滑函数是否凸,则是相当方便的.在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性,再反过来引出它必定满足凸性不等式.关于凸函数，有重要的Jensen（詹森）不等式.定

2、理2（Jensen不等式）若在区间上为下凸函数,则,有(1)证明用数学归纳法.当时,由定义显然有假设当时,有,其中当时,当且仅当时取等号.在定理2中只要把“下凸”改为“上凸”即可得证:(2)凸函数的定义及有关定理定义设为区间上的函数.如果,总有则称在上为下凸函数.如果上述不等式中“”改为“＜”,则称在上为严格下凸函数.如果，总有则称在上为上凸函数.如果上述不等式中“”改为“＞”,则称在上为严格上凸函数.定理1设为区间上的二阶可导函数，则在上为下凸(或上凸)函数的充要条件是(或),(《数学分析》教材已证，这里从略.)用定义

3、直接来判断一个函数是不是凸函数,往往是很困难的.但用该定理来判断一个光滑函数是否凸,则是相当方便的.在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性,再反过来引出它必定满足凸性不等式.关于凸函数，有重要的Jensen（詹森）不等式.定理2（Jensen不等式）若在区间上为下凸函数,则,有(1)证明用数学归纳法.当时,由定义显然有假设当时,有,其中当时,当且仅当时取等号.在定理2中只要把“下凸”改为“上凸”即可得证:(2)