凸函数不同定义间的关系及其应用

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1、112南昌高专学报2005年第5期(总第60期)2005年10月出版JournalofNanchangJuniorCollegeNo.5(Sum60)Oct.2005凸函数不同定义间的关系及其应用12俞文辉,何鹏(1.江西机电职业技术学院基础部,江西南昌330013;2.江西科技师范学院专科部管理系,江西南昌330038)摘要:本文比较了凸函数不同定义,明确了各种定义之间的强弱关系,等价关系。在文章的最后,对凸函数的定义作了推广并举例说明其应用。关键词:凸函数;函数理论;数学分析中图分类号:O1

2、74.13文献标识码:A文章编号:1008-7354(2005)05-0112-02凸函数在数学的许多分支如数学分析、函数论、泛函若将上述定义中的/[0改为/<0,fc(x)递增改为严分析、最优化理论等中都有运用,它有许多不同的定义方格递增,则是严格凸函数的命题。法,这些定义形式各不相同,条件有强有弱,彼此之间又2凸函数的几何意义密切相关。本文先给出通常使用的凸函数的七种定义方法,然后对它们之间的关系进行研究。定义1和定义2表示曲线的弦总是位于被它截得的以下文中的凸函数,如果没有特别说明,均指下

3、凸函弓形弧之上,定义3表示曲线上任意三点(x1,f(x1)),数(x,f(x)),(x2,f(x2))为逆时针转向。定义4反映从曲线上任一点引出的弦的斜率是随终点的横坐标x的增大1凸函数的各种不同定义而增大。定义5显示函数的切线总是在曲线的下方。定定义1设f(x)在[a,b]上有定义,Px1,x2I,[a,义6表示曲线的切线的斜率递增。定义7是定义6的微b],有分表示。x1+x2f(x1)+f(x2)f(2)[23凸函数定义之间的关系定义2设f(x)在[a,b]上有定义,Px1,x2I[a,b]

4、,3.1强弱关系及KI(0,1),有:就f(x)要求的强弱而言,定义1是最弱的,它只要求f(Kx1+(1-K)x2)[Kf(x1)+(1-K)f(x2)f(x)在[a,b]上有定义;定义2、定义3、定义4有所加强,定义3设f(x)在[a,b]上有定义,Px1,x,x2I[a,其蕴涵了f(x)在[a,b]上连续;定义5、定义6进一步增b],且x1

5、lnx[只$=1xf(x1)n1x2f(x2)是在定义1下的凸函数,而不满足定义2至定义7。又定义4设f(x)在[a,b]上有定义,Px1,x,x2I[a,如:f(x)=

6、x

7、,xI[-1,1],只是在定义1至定义4下的b],且x1

8、(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,Px,较多。x0I[a,b],有:3.2等价关系f(x)fc(x0)(x-x0)+f(x0)在这些定义中,定义2、定义3、定义4是等价的。而定义6f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且fc定义5与定义6等价。事实上,只要令:x1

9、-x1)(*)收稿日期:2005-09-20第5期俞文辉,何鹏:凸函数不同定义间的关系及其应用113这即是定义3中$的展开式,(*)式两端再加上此不等式事实上是凸函数的一个重要性质。由于每(f(x)-f(x1))(x2-x1)个凸函数都满足颜森(Jensen)不等式,因而颜森(Jensen)f(x)-f(x1)f(x2)-f(x1)不等式是研究不等式的有力工具。下面的几个命题是使可得:[x-x1)x2-x1用颜森(Jensen)不等式证明的典型例子。而(*)式两端再加上(f(x2)-f(x1

10、))(x2-x)例1设U(t)[m,M]是上的凸函数,tiI[m,M]。f(x2)-f(x1)f(x2)-f(x)nn又得:[,从而推出了定11x2-x1x2-x则U(Eti)[EqiU(ti)ni=1ni=1义4,又此过程可逆,故定义2,定义3,定义4等价。定义该命题是颜森(Jensen)不等式当时的特殊情形。5与定义6也是等价的。因为定义5中的x0、x是任意nn例2证明[x1x2,xn[的,将定义5改写为:1+1+,+1x1x2xnf(x0)fc(x)(x0-x)+f(x)x1+x2+,+