n关于凸函数不同定义间关系及其应用的讨论(正文)

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1、关于凸函数不同定义间关系及其应用的讨论第1章绪论我们知道汉字起初是一种象形文字•但是发展到今天的汉字绝大多数已无形町象•即使如“日月山水”等几个最“象”的汉字来看，不看它们的甲骨文原形，也很难看出“象”來.但“凹凸”二字似乎是仅有的例外•按汉语词典中的解释，“凹”的含义是“低于周围”,而“凸”的含义是“高于周围”完全如同这两个字多表现出的形状.本文研究的是“凸函数”的一些性质，顾名思义,这种函数几何形状上就是一•种“高于周围”的函数•说到“高于周围”，自然是指某个几何图形的某个点的性质•但是这样的说法很模糊，因为“高低”是相对的，“周围”也冇待明确.那么在

2、数学中我们就不能再用这种直观的语言来描述带有这种图像几何形状的函数了，木文屮我们将从几何意义上抽象出这种特点，用数学的语言去描述带有这类特点的函数一凸函数.凸函数在数学屮是一类非常重要的函数，凸函数的定义最早是在1905年由丹麦数学家Jensen给出的，发展至今函数的凸性应用越来越广，特别是凸分析现已成为应用数学许多分支的基础，它在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论屮，特别是在函数的图形描绘和不等式的推导方面都冇很广泛的运用•凸函数冇着很好的性质，在图像上的反映直观，为利用数形结合的方法解题提供了方便而实用工具，另外凸函数与不等式以有着先天的关系，很多

3、不等式问题利用凸函数的一些性质，口J以得到很好的解决.关于凸函数的研究越来越多，随着吋间的发展，凸函数的定义也多种多样，木文先凸函数的多种定义方式进行整理归纳，然后对他们之间的关系进行研究，既是同一概念的定义，那彼此间必有联系•在木文屮紧接着讨论了它们之间的强弱等价关系•之后在木文屮阐述了凸函数一些很好的性质，并附以例题來学习有关凸函数的一些简单应用.由于上凸函数和下凸函数有吋统称为凸函数，所以木文所讨论的凸函数都是只下凸函数.第2章凸函数的定义2.1凸函数的几种不同定义方式定义1设/（兀）在区间/上有定义，/（兀）在/上称为是凸函数，当且仅当：Vx,,x

4、2g（0,1）,有/（加］+（1-久）兀2）§2/（兀1）+（1-久）/（兀2）（1）若（1）式屮，f改成则是«lnl函数的定义若“一改成“才或贝IJ分别是凹函数与严格凹函数的定义.由于凸与凹是对偶的概念•对其屮一个有什么结论,•••对另一个亦有相应的结论.在这篇论文里，我们主要对凸函数的定义性质及简单应用进行相关讨论，与其对应的凹函数可以相应得到.这是凸函数定义中最基础的定义.1905年丹麦数学家Jensen首次给出了如下凸函数定义：定义2/（兀）在区间/上有定义/⑴称为区间/上的凸函数，当且仅S：Vxpx2eZ有/（州+兀2）

5、屮的叱”改为“V”便是严格的凸函数定义相当于是定义2的推广我们冇凸函数的第三种定义方式.定义3于⑴在区间/上有定义./（兀）称为是凸函数，当冃•仅当论,兀2,…,兀岸人有f（西+兀：+…+暫］

6、区间/上有定义，其中要求不等式对于V兀］，兀2，兀3X,0/(X3)则函数y=是凸函数.同样对于严格凸函数的

7、定义有类似结论，只需将“才改为“〉”即可.2.2凸函数的不同定义间的强弱等价关系.在讨论凸函数这几种不同的定义间的强弱等价关系之前我们先来讨论关于凸函数最基础的定义•定义1的几何意义•如图2.2所示：设州v兀2,因为為(0,1),所以有x三Axj4-(1-A)x2A%!+(1-2)西=X]B

8、JX

9、.因此兀w(西,兀2)但当2从0连续变化1时，X也从X?连续变化到X].我们若是连接曲线y=/(x)(xg/)上两点A(xi,/(x1)),B(x2,/(x2)),作弦AB，则AB方程应为为歹一/(兀

10、2)二兀一兀2/(X,)-/(X2)兀]一兀2.若是将此式的比值记