泛函分析关于各种收敛的定义及其关系讨论.doc

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1、泛函分析关于各种收敛的定义及其关系讨论1.弱收敛：设是一个巴拿赫空间，，，称弱收敛到，记做，是指：对于都有这时称做点列的弱极限。2.强收敛：，也称为按范数收敛，是的强极限。强收敛与弱收敛的关系：若，则弱收敛与强收敛是等价的。命题：弱收敛若存在必唯一，强极限若存在必是弱极限。当时，弱极限存在却未必有强极限。定理：设是一个巴拿赫空间，，则，，，使得既然也是一个赋范线性空间，在上自然也有两种收敛性：强收敛和弱收敛。所谓弱收敛，是指对都有3.弱收敛：设是巴拿赫空间，，。称弱收敛到，记做，是指：对于，都有。这时称做泛函

2、序列的弱极限。弱收敛与弱收敛的关系：由于，因此上的弱收敛蕴含着上的弱收敛，而且当是一个自反空间时，弱收敛与弱收敛等价。定理：设是巴拿赫空间，又设，，则为了，必须且仅须⑴有界；⑵对中的一个稠密子集上的一切都有。定理：设是一个空间，又设，，则为了弱收敛到，必须且仅须⑴有界；⑵对中的一个稠密子集上的一切都有。4.依测度收敛：设是上的一列有限的可测函数列，若在E上有限的可测函数满足下列关系：对于任意的有，则称函数列依测度收敛于，记为。依测度收敛与几乎处处收敛的关系：黎斯定理：设在E上依测度收敛于，则存在子列在E上收敛

3、于。勒贝格定理：设⑴；⑵是上的一列有限的可测函数列；⑶是上收敛于有限的函数，则