泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆).doc

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1、第五章习题第一部分01-151.M为线性空间X的子集，证明span(M)是包含M的最小线性子空间．[证明]　显然span(M)是X的线性子空间．设N是X的线性子空间，且MÍN．则由span(M)的定义，可直接验证span(M)ÍN．所以span(M)是包含M的最小线性子空间．2.设B为线性空间X的子集，证明conv(B)={

2、ai³0,=1,xiÎB,n为自然数}．[证明]　设A={

3、ai³0,=1,xiÎB,n为自然数}．首先容易看出A为包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有AÍF，故A为包

4、含B的最小凸集．3.证明[a,b]上的多项式全体P[a,b]是无限维线性空间，而E={1,t,t2,...,tn,...}是它的一个基底．[证明]　首先可以直接证明P[a,b]按通常的函数加法和数乘构成线性空间，而P[a,b]中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示．设c0,c1,c2,...,cm是m+1个实数，其中cm¹0，m³1．若=0，由代数学基本定理知c0=c1=c2=...=cm=0，所以中任意有限个元素线性无关，故P[a,b]是无限维线性空间，而E是它的一个基底。4.在R2中对

5、任意的x=(x1,x2)ÎR2，定义

6、

7、x

8、

9、1=

10、x1

11、+

12、x2

13、，

14、

15、x

16、

17、2=(x12+x22)1/2，

18、

19、x

20、

21、¥=max{

22、x1

23、,

24、x2

25、}．证明它们都是R2中的范数，并画出各自单位球的图形．[证明]　证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．5.设X为线性赋范空间，L为它的线性子空间。证明cl(L)也是X的线性子空间．[证明]　"x,yÎcl(L)，"aÎK，存在L中的序列{xn},{yn}使得xn®x，yn®y．从而x+y=limxn+limyn=lim(xn+y

26、n)Îcl(L)，ax=alimxn=lim(axn)Îcl(L)．所以cl(L)是X的线性子空间．[注]　这里cl(L)表示子集L的闭包．6.设X为完备的线性赋范空间，M为它的闭线性子空间，x0ÏM．证明：L={ax0+y

27、yÎM,aÎK}也是X的闭线性子空间．[证明]　若a,bÎK，y,zÎM使得ax0+y=bx0+z，则(a-b)x0=z-yÎM，得到a=b，y=z；即L中元素的表示是唯一的．若L中的序列{anx0+yn}收敛于X中某点z，则序列{anx0+yn}为有界序列．由于M闭，x0ÏM

28、，故存在$r>0，使得

29、

30、x0-y

31、

32、³r，"yÎM．则当an¹0时有

33、an

34、=

35、an

36、·r·(1/r)£

37、an

38、·

39、

40、x0+yn/an

41、

42、·(1/r)=

43、

44、anx0+yn

45、

46、·(1/r)，所以数列{an}有界，故存在{an}的子列{an(k)}使得an(k)®aÎK．这时yn(k)=(anx0+yn)-anx0®z-ax0ÎM．所以zÎL，所以L闭．[注]　在此题的证明过程中，并未用到“X为完备的”这一条件．1.证明：a.在R2中，

47、

48、◦

49、

50、1，

51、

52、◦

53、

54、2与

55、

56、◦

57、

58、¥都是等价范数；b.

59、

60、◦

61、

62、

63、1与

64、

65、◦

66、

67、2是等价范数的充要条件是：X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性．[证明]　a.显然

68、

69、x

70、

71、¥£

72、

73、x

74、

75、2£

76、

77、x

78、

79、1£2

80、

81、x

82、

83、¥，所以

84、

85、◦

86、

87、1，

88、

89、◦

90、

91、2与

92、

93、◦

94、

95、¥都是等价范数．b.必要性是显然的，下面证明充分性．首先inf{

96、

97、x

98、

99、2

100、

101、

102、x

103、

104、1=1}³0．若inf{

105、

106、x

107、

108、2

109、

110、

111、x

112、

113、1=1}=0，则存在X中序列{xn}，使得

114、

115、xn

116、

117、1=1，

118、

119、xn

120、

121、2®0．而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而

122、

123、xn

124、

125、1®0．这矛盾说明inf{

126、

127、x

128、

129、

130、2

131、

132、

133、x

134、

135、1=1}=a>0．对"xÎX，当x¹0时，

136、

137、(x/

138、

139、x

140、

141、1)

142、

143、1=1，所以

144、

145、(x/

146、

147、x

148、

149、1)

150、

151、2³a．故"xÎX有a

152、

153、x

154、

155、1£

156、

157、x

158、

159、2．类似地可以证明存在b>0使得b

160、

161、x

162、

163、2£

164、

165、x

166、

167、1，"xÎX．所以两个范数等价．2.证明：Banach空间m不是可分的．[证明见教科书p187,例3.5]3.证明：是可分的Banach空间．[证明见第4章习题16]4.设X,Y为线性赋范空间，TÎB(X,Y)．证明T的零空间N(T)={xÎX

168、Tx=0}是的闭线性子空间

169、．[证明]　显然N(T)={xÎX

170、Tx=0}是X的线性子空间．对"xÎN(T)c，Tx¹0，由于T是连续的，存在x的邻域U使得"uÎU有Tu¹0，从而UÍN(T)c．故N(T)c是开集，N(T)是X的闭子空间．5.设无穷矩阵(aij)，(i,j=1,2,...)满足，定义算子T:m®m如下：y=Tx，，其中x=(xi),y=(hi)Îm．证明：T是有界线性算子，并且。[证明]　因，及T是线性的，所以T为有界线性算子，。对任意的实数，存在自然数使得。取，使得其第个坐标