44、紧集,故C的任意子集都列紧.而T(C)ÍC,故T(C)列紧.于是,由Schauder不动点定理,T在C上有一个不动点.[Schauder定理:B*空间中闭凸集C上使T(C)列紧的连续自映射T必有不动点]1.5.4.专业.1.5.5证明:设C={x=(x1,x2,...,xn)ÎRn
45、å1£i£nxi=1,xi³0(i=1,2,...,n)}.则C是有界闭集,且是凸集,因此C是紧凸集.因为"xÎC,xi不全为0,而aij>0,故Ax的各分量也非负但不全为零."xÎC,设f(x)=(Ax)/(å1£i£n(Ax)i),则f(x)ÎC..专业
46、.容易验证f:C®C还是连续的.由Brouwer不动点定理,存在f的不动点x0ÎC.即f(x0)=x0,也就是(Ax0)/(å1£i£n(Ax0)i)=x0.令l=å1£i£n(Ax0)i,则有Ax0=lx0.1.5.6证明:设B={uÎC[0,1]
47、ò[0,1]u(x)dx=1,u(x)³0},则B是C[0,1]中闭凸集.设max(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=M,min(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=m,ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)dy)dx=N,maxxÎ[0,1]
48、ò[0,1]K(x,y
49、)dy
50、=P.令(Su)(x)=(ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)则ò[0,1](Su)(x)dx=1,u(x)³0;即SuÎB.因此S是从B到B内的映射."u,vÎB,
51、
52、ò[0,1]K(x,y)u(y)dy-ò[0,1]K(x,y)v(y)dy
53、
54、=
55、
56、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy
57、
58、=maxxÎ[0,1]
59、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy
60、£M·
61、
62、u-v
63、
64、;因此映射u#ò[0,1]K(x,y)u(y)dy在B上连续.类似
65、地,映射u#ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx也在B上连续.所以,S在B上连续.下面证明S(B)列紧.首先,证明S(B)是一致有界集."uÎB,
66、
67、Su
68、
69、=
70、
71、(ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)
72、
73、=maxxÎ[0,1]
74、ò[0,1]K(x,y)u(y)dy
75、/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)£(M·ò[0,1]u(y)dy
76、/(mò[0,1](ò[0,1]u(y)dy)dx)=M/m,故S(B)是一致有界集.其次,证
77、明S(B)等度连续."uÎB,"t1,t2Î[0,1],
78、(Su)(t1)-(Su)(t2)
79、=
80、ò[0,1]K(t1,y)u(y)dy-ò[0,1]K(t2,y)u(y)dy
81、/(ò[0,1](ò[0,1