44、å1£
45、i£nxi=1,xi³0(i=1,2,...,n)}.则C是有界闭集,且是凸集,因此C是紧凸集.因为"xÎC,xi不全为0,而aij>0,故Ax的各分量也非负但不全为零."xÎC,设f(x)=(Ax)/(å1£i£n(Ax)i),则f(x)ÎC.容易验证f:C®C还是连续的.由Brouwer不动点定理,存在f的不动点x0ÎC.即f(x0)=x0,也就是(Ax0)/(å1£i£n(Ax0)i)=x0.令l=å1£i£n(Ax0)i,则有Ax0=lx0.1.5.6证明:设B={uÎC[0,1]
46、ò[0,1]u(x)dx=1,u(x)³0},则B是C[0,1]中闭凸集.设max(x
47、,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=M,min(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=m,ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)dy)dx=N,maxxÎ[0,1]
48、ò[0,1]K(x,y)dy
49、=P.令(Su)(x)=(ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)则ò[0,1](Su)(x)dx=1,u(x)³0;即SuÎB.因此S是从B到B内的映射."u,vÎB,
50、
51、ò[0,1]K(x,y)u(y)dy-ò[0,1]K(x,y)v(y)dy
52、
53、=
54、
55、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy
56、
57、
58、=maxxÎ[0,1]
59、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy
60、£M·
61、
62、u-v
63、
64、;因此映射u#ò[0,1]K(x,y)u(y)dy在B上连续.类似地,映射u#ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx也在B上连续.所以,S在B上连续.下面证明S(B)列紧.首先,证明S(B)是一致有界集."uÎB,
65、
66、Su
67、
68、=
69、
70、(ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)
71、
72、=maxxÎ[0,1]
73、ò[0,1]K(x,y)u(y)dy
74、/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)£(
75、M·ò[0,1]u(y)dy
76、/(mò[0,1](ò[0,1]u(y)dy)dx)=M/m,故S(B)是一致有界集.其次,证明S(B)等度连续."uÎB,"t1,t2Î[0,1],
77、(Su)(t1)-(Su)(t2)
78、=
79、ò[0,1]K(t1,y)u(y)dy-ò[0,1]K(t2,y)u(y)dy
80、/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)£ò[0,1]
81、K(t1,y)-K(t2,y)
82、u(y)dy/(mò[0,1](ò[0,1]u(y)dy)dx)£(1/m)·maxyÎ[0,1