44、由Schauder不动点定理，T在C上有一个不动点．[Schauder定理：B*空间中闭凸集C上使T(C)列紧的连续自映射T必有不动点]1.5.41.5.5证明：设C={x=(x1,x2,...,xn)ÎRn
45、å1£i£nxi=1，xi³0(i=1,2,...,n)}．则C是有界闭集，且是凸集，因此C是紧凸集．因为"xÎC，xi不全为0，而aij>0，故Ax的各分量也非负但不全为零．"xÎC，设f(x)=(Ax)/(å1£i£n(Ax)i)，则f(x)ÎC．容易验证f:C®C还是连续的．由Brouwer不
46、动点定理，存在f的不动点x0ÎC．即f(x0)=x0，也就是(Ax0)/(å1£i£n(Ax0)i)=x0．令l=å1£i£n(Ax0)i，则有Ax0=lx0．1.5.6证明：设B={uÎC[0,1]
47、ò[0,1]u(x)dx=1，u(x)³0}，则B是C[0,1]中闭凸集．设max(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=M，min(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=m，ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)dy)dx=N，maxxÎ[0,1]
48、ò[0,1]K(x,y)dy
49、=P．令(
50、Su)(x)=(ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)则ò[0,1](Su)(x)dx=1，u(x)³0；即SuÎB．因此S是从B到B内的映射．"u,vÎB，
51、
52、ò[0,1]K(x,y)u(y)dy-ò[0,1]K(x,y)v(y)dy
53、
54、=
55、
56、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy
57、
58、=maxxÎ[0,1]
59、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy
60、£M·
61、
62、u-v
63、
64、；因此映射u#ò[0,1]K(x,y)u(y)dy在
65、B上连续．类似地，映射u#ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx也在B上连续．所以，S在B上连续．下面证明S(B)列紧．首先，证明S(B)是一致有界集．"uÎB，
66、
67、Su
68、
69、=
70、
71、(ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)
72、
73、=maxxÎ[0,1]
74、ò[0,1]K(x,y)u(y)dy
75、/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)£(M·ò[0,1]u(y)dy
76、/(mò[0,1](ò[0,1]u(y)dy)d
77、x)=M/m，故S(B)是一致有界集．其次，证明S(B)等度连续．"uÎB，"t1,t2Î[0,1]，
78、(Su)(t1)-(Su)(t2)
79、=
80、ò[0,1]K(t1,y)u(y)dy-ò[0,1]K(t2,y)u(y)dy
81、/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)£ò[0,1]
82、K(t1,y)-K(t2,y)
83、u(y)dy/(mò[0,1](ò[0,1]u(y)dy)dx)£(1/m)·maxyÎ[0,1
