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1、张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲课后习题解答与辅导张秀洲二00九年三月一十日-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.1.5-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.1.6-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.1.7-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.2.2-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.2.3-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.2.4-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.3.31.3.
2、41.3.5-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.3.71.3.8-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.3.91.4.1-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.4.5-6-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.4.91.4.111.4.12-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.4.131.4.14-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.4.151.4.17-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.5
3、.1证明：(1)(Þ)若xÎint(E)，存在d>0，使得Bd(x)ÍE．注意到x+x/n®x(n®¥)，故存在NÎN+，使得x+x/NÎBd(x)ÍE．即x/(N/(1+N))ÎE．因此P(x)£N/(1+N)<1．(Ü)若P(x)<1．则存在a>1，使得y=axÎE．因qÎint(E)，故存在d>0，使得Bd(q)ÍE．令h=d(a-1)/a，"zÎBh(x)，令w=(az-y)/(a-1)，则
4、
5、w
6、
7、=
8、
9、(az-y)/(a-1)
10、
11、=
12、
13、az-y
14、
15、/(a-1)=
16、
17、az-ax
18、
19、/(a-1)=a
20、
21、z-x
22、
23、/(a-1)24、)=d．故wÎBd(q)ÍE．故z=((a-1)w+y)/aÎE，因此，Bh(x)ÍE．所以xÎint(E)．(2)因int(E)=E，故有cl(int(E))Ícl(E)．下面证明相反的包含关系．若xÎcl(E)，则"e>0，存在yÎE，使得
25、
26、x-y
27、
28、29、
30、Ny/(N+1)-y
31、
32、33、
34、z-x
35、
36、£
37、
38、z-y
39、
40、+
41、
42、y-x
43、
44、45、此cl(E)Ícl(int(E))所以cl(int(E))=cl(E)．1.5.3证明：因为C是紧集，所以C是闭集．因为C是紧集，故C的任意子集都列紧．-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲而T(C)ÍC，故T(C)列紧．于是，由Schauder不动点定理，T在C上有一个不动点．[Schauder定理：B*空间中闭凸集C上使T(C)列紧的连续自映射T必有不动点]1.5.41.5.5证明：设C={x=(x1,x2,...,xn)ÎRn
46、å1£i£nxi=1，xi³0(i=1,2,...,n)}．则C是有界闭集，且是凸集，因此C是紧凸集．-56-张恭
47、庆泛函分析题—数计院—张秀洲因为"xÎC，xi不全为0，而aij>0，故Ax的各分量也非负但不全为零．"xÎC，设f(x)=(Ax)/(å1£i£n(Ax)i)，则f(x)ÎC．容易验证f:C®C还是连续的．由Brouwer不动点定理，存在f的不动点x0ÎC．即f(x0)=x0，也就是(Ax0)/(å1£i£n(Ax0)i)=x0．令l=å1£i£n(Ax0)i，则有Ax0=lx0．1.5.6证明：设B={uÎC[0,1]
48、ò[0,1]u(x)dx=1，u(x)³0}，则B是C[0,1]中闭凸集．设max(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y
49、)=M，min(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=m，ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)dy)dx=N，maxxÎ[0,1]
50、ò[0,1]K(x,y)dy
51、=P．令(Su)(x)=(ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)则ò[0,1](Su)(x)dx=1，u(x)³0；即SuÎB．因此S是从B到B内的映射．"u,vÎB，
52、
53、ò[0,1]K(x,y)u(y)dy-ò[0,1]K(x,y)v(y)dy
54、
55、=
56、
57、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy
58、
59、=maxx
60、Î[0,1]
61、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy
62、£M·
63、
64、u-v
65、
66、；因此映射u#ò[0,1]K(x,y
