45、nt(E)),因此cl(E)Ícl(int(E))所以cl(int(E))=cl(E).-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.5.3证明:因为C是紧集,所以C是闭集.因为C是紧集,故C的任意子集都列紧.而T(C)ÍC,故T(C)列紧.于是,由Schauder不动点定理,T在C上有一个不动点.[Schauder定理:B*空间中闭凸集C上使T(C)列紧的连续自映射T必有不动点]1.5.4-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.5.5证明:设C={x=(x1,x2,...,xn)ÎRn
46、å1£i£nxi=1,xi³0(i=1,2,
47、...,n)}.则C是有界闭集,且是凸集,因此C是紧凸集.因为"xÎC,xi不全为0,而aij>0,故Ax的各分量也非负但不全为零."xÎC,设f(x)=(Ax)/(å1£i£n(Ax)i),则f(x)ÎC.容易验证f:C®C还是连续的.由Brouwer不动点定理,存在f的不动点x0ÎC.即f(x0)=x0,也就是(Ax0)/(å1£i£n(Ax0)i)=x0.令l=å1£i£n(Ax0)i,则有Ax0=lx0.1.5.6证明:设B={uÎC[0,1]
48、ò[0,1]u(x)dx=1,u(x)³0},则B是C[0,1]中闭凸集.设max
49、(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=M,min(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=m,ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)dy)dx=N,maxxÎ[0,1]
50、ò[0,1]K(x,y)dy
51、=P.令(Su)(x)=(ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)则ò[0,1](Su)(x)dx=1,u(x)³0;即SuÎB.因此S是从B到B内的映射."u,vÎB,
52、
53、ò[0,1]K(x,y)u(y)dy-ò[0,1]K(x,y)v(y)dy
54、
55、=
56、
57、ò[0
58、,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy
59、
60、=maxxÎ[0,1]
61、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy
62、£M·
63、
64、u-v
65、
66、;因此映射u#ò[0,1]K(x,y)u(y)dy在B上连续.类似地,映射u