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1、张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲课后习题解答与辅导张秀洲二00九年三月一十日-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.1.5-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.1.6-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.1.7-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.2.2-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.2.3-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.2.4-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院
2、—张秀洲1.3.31.3.41.3.5-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.3.71.3.8-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.3.91.4.1-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.4.5-6-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.4.91.4.111.4.12-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.4.131.4.14-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.4.151.4.17-56-张恭庆泛函分析题—数计院—
3、张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.5.1证明：(1)(Þ)若xÎint(E)，存在d>0，使得Bd(x)ÍE．注意到x+x/n®x(n®¥)，故存在NÎN+，使得x+x/NÎBd(x)ÍE．即x/(N/(1+N))ÎE．因此P(x)£N/(1+N)<1．(Ü)若P(x)<1．则存在a>1，使得y=axÎE．因qÎint(E)，故存在d>0，使得Bd(q)ÍE．令h=d(a-1)/a，"zÎBh(x)，令w=(az-y)/(a-1)，则
4、
5、w
6、
7、=
8、
9、(az-y)/(a-1)
10、
11、=
12、
13、az-y
14、
15、/(a-1)
16、=
17、
18、az-ax
19、
20、/(a-1)=a
21、
22、z-x
23、
24、/(a-1)0，存在yÎE，使得
25、
26、x-y
27、
28、29、
30、Ny/(N+1)-y
31、
32、33、)．而
34、
35、z-x
36、
37、£
38、
39、z-y
40、
41、+
42、
43、y-x
44、
45、46、,xn)ÎRn
47、å1£i£nxi=1，xi³0(i=1,2,...,n)}．则C是有界闭集，且是凸集，因此C是紧凸集．-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲因为"xÎC，xi不全为0，而aij>0，故Ax的各分量也非负但不全为零．"xÎC，设f(x)=(Ax)/(å1£i£n(Ax)i)，则f(x)ÎC．容易验证f:C®C还是连续的．由Brouwer不动点定理，存在f的不动点x0ÎC．即f(x0)=x0，也就是(Ax0)/(å1£i£n(Ax0)i)=x0．令l=å1£i£n(Ax0)i，则有Ax0=lx0．1.5.6证
48、明：设B={uÎC[0,1]
49、ò[0,1]u(x)dx=1，u(x)³0}，则B是C[0,1]中闭凸集．设max(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=M，min(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=m，ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)dy)dx=N，maxxÎ[0,1]
50、ò[0,1]K(x,y)dy
51、=P．令(Su)(x)=(ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)则ò[0,1](Su)(x)dx=1，u(x)³0；即SuÎB．因此S是从
52、B到B内的映射．"u,vÎB，
53、
54、ò[0,1]K(x,y)u(y)dy-ò[0,1]K(x,y)v(y)dy
55、
56、=
57、
58、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy
59、
60、=maxxÎ[0,1]
61、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy
62、£M·
63、
64、u-v
65、
66、；因此映射u#ò[0,1]K(x,y
