张恭庆泛函分析上册答案

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1、张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲课后习题解答与辅导张秀洲二00九年三月一十日-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.1.5-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.1.6-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.1.7-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.2.2-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.2.3-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.2.4-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院

2、—张秀洲1.3.31.3.41.3.5-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.3.71.3.8-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.3.91.4.1-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.4.5-6-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.4.91.4.111.4.12-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.4.131.4.14-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.4.151.4.17-56-张恭庆泛函分析题—数计院—

3、张秀洲-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲1.5.1证明:(1)(Þ)若xÎint(E),存在d>0,使得Bd(x)ÍE.注意到x+x/n®x(n®¥),故存在NÎN+,使得x+x/NÎBd(x)ÍE.即x/(N/(1+N))ÎE.因此P(x)£N/(1+N)<1.(Ü)若P(x)<1.则存在a>1,使得y=axÎE.因qÎint(E),故存在d>0,使得Bd(q)ÍE.令h=d(a-1)/a,"zÎBh(x),令w=(az-y)/(a-1),则

4、

5、w

6、

7、=

8、

9、(az-y)/(a-1)

10、

11、=

12、

13、az-y

14、

15、/(a-1)

16、=

17、

18、az-ax

19、

20、/(a-1)=a

21、

22、z-x

23、

24、/(a-1)0,存在yÎE,使得

25、

26、x-y

27、

28、

29、

30、Ny/(N+1)-y

31、

32、

33、).而

34、

35、z-x

36、

37、£

38、

39、z-y

40、

41、+

42、

43、y-x

44、

45、

46、,xn)ÎRn

47、å1£i£nxi=1,xi³0(i=1,2,...,n)}.则C是有界闭集,且是凸集,因此C是紧凸集.-56-张恭庆泛函分析题—数计院—张秀洲因为"xÎC,xi不全为0,而aij>0,故Ax的各分量也非负但不全为零."xÎC,设f(x)=(Ax)/(å1£i£n(Ax)i),则f(x)ÎC.容易验证f:C®C还是连续的.由Brouwer不动点定理,存在f的不动点x0ÎC.即f(x0)=x0,也就是(Ax0)/(å1£i£n(Ax0)i)=x0.令l=å1£i£n(Ax0)i,则有Ax0=lx0.1.5.6证

48、明:设B={uÎC[0,1]

49、ò[0,1]u(x)dx=1,u(x)³0},则B是C[0,1]中闭凸集.设max(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=M,min(x,y)Î[0,1]´[0,1]K(x,y)=m,ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)dy)dx=N,maxxÎ[0,1]

50、ò[0,1]K(x,y)dy

51、=P.令(Su)(x)=(ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)/(ò[0,1](ò[0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)则ò[0,1](Su)(x)dx=1,u(x)³0;即SuÎB.因此S是从

52、B到B内的映射."u,vÎB,

53、

54、ò[0,1]K(x,y)u(y)dy-ò[0,1]K(x,y)v(y)dy

55、

56、=

57、

58、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy

59、

60、=maxxÎ[0,1]

61、ò[0,1]K(x,y)(u(y)-v(y))dy

62、£M·

63、

64、u-v

65、

66、;因此映射u#ò[0,1]K(x,y

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