关于泛函分析课程教学的建议

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1、关于泛函分析课程教学的建议　　[摘要]本文通过对泛函分析课程的特点的具体分析，根据自己的实践教学经验，对教学提出了三条建议：1.以实维欧氏空间为原型，建立泛函分析研究的抽象空间；2.重视课程基本理论发展框架、注重数学思想方法体系的构建；3.注重对概念的理解和掌握。　　[关键词]泛函分析教学建议　　[中图分类号]G642[文献标识码]A[文章编号]2095-3437（2013）16-0111-02　　泛函分析是现代数学的基础学科之一，是综合了分析、代数和几何等学科而形成的。作为一门分析数学课程，泛函分析中的概念、定理等理论知识相当丰富，又很抽象，知识的连贯性和逻辑性都很强，其对数学基础

2、的要求比较高。因此，学生在学习泛函分析时感到抽象，不易理解，学习起来很困难。同时，一些高校不断扩大学生公选课的数量，这使得泛函分析课时受到了大幅挤压。又因为泛函分析通常设置在三年级，此时不少学生要准备考研，还有一些学生已经忙于找工作，这些都影响到泛函分析的教学效果。因此，如何提高课堂教学效果是高校有关教师的一个重要研究课题。　　一、以实维欧氏空间为原型，建立泛函分析研究的抽象空间　　实n维欧氏空间Rn是在n维实向量空间En上赋予欧氏距离而生成的，Rn中元素就是En中的元素，而且还满足别的性质，故Rn不仅是距离空间。Rn特点：1.任何两个元素（向量）可进行线性运算，即Rn可看成一个线性

3、空间。2.每个元素（向量）都对应着它的长度（模），而这个长度恰是向量的端点到原点的欧氏距离。3.Rn作为向量空间，不仅有范数和距离的概念，还有两个向量之间夹角和描述夹角的内积概念，而且一个向量与自身的内积刚好是其范数的平方（把内积和内积与范数的这种关系抽象出来，得到内积空间的概念）。以实n维欧氏空间Rn为原型，逐步建立泛函分析所研究的三大抽象空间：　　1.距离（度量）空间：只具有拓扑结构，是从平面和现实的三维空间等具体模型中抽象出来的。其中任何两点之间只有距离关系而已（性质不够丰富，不能满足很多实际问题的需要）。　　2.赋范线性空间：具有拓扑结构、代数结构，是以Rn特点1、2及它与欧

4、氏空间距离的关系为模型，抽象出的一类特殊的距离空间。　　3.内积空间：具有拓扑结构、代数结构、几何结构。　　把经典分析与代数结合起来是泛函分析方法的特征，这使得初看起来相距甚远的数学分支之间建立联系并相互结合。上述分析揭去了抽象空间的抽象、晦涩的外壳，而针对这些抽象空间的抽象外观，初学者可采用以下两种方式来适应：（1）在学习高度一般性的理论之前，首先来认识比较熟悉而又不是特别抽象的函数空间，这样会充分体会到抽象空间是源于现实需要、基于现实土壤的，然后再去学习一般的抽象空间理论（由特殊到一般）。（2）最大可能地借用有限维空间中的概念、术语与思维模式，用以形成对无限维空间的清晰可见几何直

5、观。　　二、重视课程基本理论发展框架、注重数学思想方法体系的构建　　任何数学课程的基本结构都是由两根强有力的支柱支撑着，即数学基础知识和数学思想方法，它们是整个课程的和谐统一体。数学思想是指人们对数学理论和内容的本质认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题，通常混称为数学思想方法。数学课程中的每章每节甚至每道习题的求解过程，都是数学基础知识与数学思想方法的有机结合体，而数学思想方法又寓于数学知识之中，通常有数学知识是“躯体”，数学思想方法是“灵魂”之称。正是由于数学思想方法的作用，才使数学课程不是由零散的知识和孤立的事实组成，有形的

6、数学知识结构正是由这种无形的数学思想方法作为纽带而连接起来。　　1.很多教材在结构上缺乏整体性，知识体系上缺乏系统性，在章节之间缺少过渡和总结；教材与实际结合少。学生往往可以学懂零散的概念定理、会做一些习题，但没有掌握课程基本理论框架，也就谈不上构建数学思想方法体系。这就需要教师在课程教学中要重视课程基本理论发展框架、注重数学思想方法体系的构建，帮助学生提高数学思想方法素养。我们必须遵循简洁、明晰的原则，在宏观上，要让学生知道我们在做什么（解决什么问题），怎么做（方法），还能做什么（相关问题）；注重理论的基本框架、知识点间的关系、理论的实质、解决问题思路的分析与方法的总结；尽量使用深

7、刻而又通俗的语言来刻画概念和定理，使抽象的定义和理论易于理解和接受，而不至于令人望而生畏，也不会索然无味；而关于课程的整体性、连贯性，需要教师对教学内容作细致的剖析和耐心的讲解。　　例如，讲授不动点定理时，第一步，先做引入：若函数f：[0，1]→[0，1]连续，则平面上直线y=x与f的函数图像至少相交于一点x0，即■x0∈[0，1]使f（x0）=x0，即x0是个不动点（用介值定理可证）。第二，归结问题：假设取定y1∈[0，1]，则y1=f（x）是一个一元方