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1、-------------精选文档-----------------泛函分析单元知识总结与知识应用数学与计算科学学院数学与应用数学一、单元知识总结第七章、度量空间和赋范线性空间§1度量空间§1.1定义：若X是一个非空集合，d:XXR是满足下面条件的实值函数，对于x,yX，有（1）d(x,y)0当且仅当xy；（2）d(x,y)d(y,x)；（3）d(x,y)d(x,z)d(y,z)，则称d为X上的度量，称(X,d)为度量空间。例：1、设X是一个非空集合，x,yX，当d(x,y)1,当xy，0,当x=y则(X,d)为离散的度量空间。2、序列空间S，d(x,y)1
2、
3、i-i
4、是度量空间i=12i1+
5、i-i
6、3、有界函数全体B(A)，d(x,y)sup
7、x(t)-y(t)
8、是度量空间tA4、连续函数C[a,b]，d(x,y)max
9、x(t)-y(t)
10、是度量空间atb5、空间l21，d(x,y)[(y-x)2]2是度量空间kki=1§2度量空间中的极限，稠密集，可分空间§2.1收敛点列：设xn是(X,d)中点列，如果xX，使limd(x,x)=0，nn则称点列xn是(X,d)中的收敛点列。例：1、xnRn，xn按欧氏距离收敛于x的充要条件为1in,各点列依分量收敛。可编辑-------------精选文档---------
11、--------2、C[a,b]中d(x,y)0xkx（一致）3、可测函数空间M(X)中点列d(fn,f)0fnf（依测度）§3连续映射Tx0§3.1对0的每个领域U，必有x的某个领域V是TVU,其中TV表示V在映射T作用下的像。:§3.2定理1设T是度量空间(X,d)到度量空间d(Y,d)中的映射，那么T在xX连续的充要条件为当xx(n)时，必有0n0TxnTx0(n)定理2度量空间X到Y中映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像T-1M是X中的开集。§4柯西点列和完备度量空间§4.1定义：设X(X,d)是度量空间，xn是X中点列，如果对0，正整
12、数NN(),使当n,mN时，必有d(xn,xm)，则称xn是X中的柯西点列，如果度量空间(X,d)中每个点列都在(X,d)中收敛，那么称(X,d)是完备的度量空间。例：1、C[a,b]是完备度量空间2、l2是完备度量空间3、Rn是完备的度量空间注意：1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列3、实系数多项式全体P[a,b]，P[a,b]作为C[a,b]的子空间不是完备度量空间可编辑-------------精选文档-----------------§4.2定理1完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要
13、条件是M为X中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）§5度量空间的完备化§5.1定理1（度量空间的完备化定理）设X(X,d)是度量空间，那么一定存::::在一完备度量空间X(X,d)，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且::X在等距同构意义下是唯一的，即若(X,d)也是一万倍度量空间，且X与X的某::个稠密空间等距同构，则(X,d)与(X,d)等距同构。定理1'设X(X,d)是度量空间，那么存在唯一的完备空间::::X(X,d)，使X为X的稠密子空间。§6压缩映射原理及其应用§6.1定义：设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果,01，st.x,
14、yX，d(Tx,Ty)d(x,y)，则称T是压缩映射。§6.2定理1（压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Txx，有且只有一个解）。定理2（隐函数存在定理）设函数f(x,y)在带状域axb,y中处处连续，且处处有关于y的偏导数fy'(x,y)。如果常数m和M，满足0mfy'(x,y)M,mM，则方程f(x,y)0在区间[a,b]上必有唯一的连续函数y(x)作为解：f(x,(x))0,x[a,b]§7线性空间§7.1定义：设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X中元素的乘法运算，满
15、足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合可编辑-------------精选文档-----------------律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）xX，均有1xx，满足这样性质的集合X称为线性空间。例：1、Rn按自身定义的加法和数乘成线性空间2、C[a,b]按自身定义的加法和数乘成线性空间3、空间lp(p0)按自身定义的加法和数乘成线性空间§8赋范线性空间和巴拿赫空间§8.1定义：设X是实（或复）的线性空间，如果对xX，都有确定的一个实数，记为x与之对应，并且满足：1ox0，且x0等价于x0；（非负性）2ox
16、
17、
18、x其中为任意实（复）数；3oxyx
