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1、泛函分析题1_3列紧集泛函分析题1_3列紧集p191.3.1在完备的度量空间中,求证:为了子集A是列紧的,其充分必要条件是对"e>0,存在A的列紧的e网.证明:(1)若子集A是列紧的,由Hausdorff定理,"e>0,存在A的有限e网N.而有限集是列紧的,故存在A的列紧的e网N.(2)若"e>0,存在A的列紧的e/2网B.因B列紧,由Hausdorff定理,存在B的有限e/2网C.因CÍBÍA,故C为A的有限e网.因空间是完备的,再用Hausdorff定理,知A是列紧的.1.3.2在度量空间中,求证:紧集上的连续函数必是有界的,并且能达到它的上、下确界.证明:设(X,r)是度量

2、空间,D是紧子集,f:D®R是连续函数.(1)若f无上界,则"nÎN+,存在xnÎD,使得f(xn)>1/n.因D是紧集,故D是自列紧的.所以{xn}存在收敛子列xn(k)®x0ÎD(k®¥).由f的连续性,f(xn(k))®f(x0)(k®¥).但由f(xn)>1/n知f(xn)®+¥ (n®¥),所以f(xn(k))®+¥(k®¥),矛盾.故f有上界.同理,故f有下界.(2)设M=supxÎDf(x),则"nÎN+,存在ynÎD,使得f(yn)>M-1/n.{yn}存在子列yn(k)®y0ÎD(k®¥).因此f(y0)³M.而根据M的定义,又有f(y0)£M.所以f(y0)=

3、M.因此f能达到它的上确界.同理,f能达到它的下确界.1.3.3在度量空间中,求证:完全有界的集合是有界的,并通过考虑l2的子集E={ek}k³1,其中ek={0,0,...,1,0,...}(只是第k个坐标为1,其余都是0),来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的.证明:(1)若A是度量空间(X,r)中的完全有界集.则存在A的有限1-网N={x0,x1,x2,...,xn}.令R=å1£j£nr(x0,xj)+1.则"xÎA,存在某个j使得0£j£n,且r(x,xj)<1.因此,r(x,x0)£r(x,xj)+r(xj,x0)£1+å1£j£nr(x0,xj)=R.所以A是度

4、量空间(X,r)中的有界集.(2)注意到r(ek,ej)=21/2("k¹j),故E中任意点列都不是Cauchy列.所以,E中任意点列都没有收敛子列(否则,该收敛子列就是Cauchy42泛函分析题1_3列紧集列,矛盾).因此,E不是列紧集.由l2是完备的,以及Hausdorff定理,知E不是全有界集.但E显然是有界集.1.3.4设(X,r)是度量空间,F1,F2是它的两个紧子集,求证:$xiÎFi(i=1,2),使得r(F1,F2)=r(x1,x2).其中r(F1,F2)=inf{r(x,y)

5、xÎF1,yÎF2}证明:由r(F1,F2)的定义,"nÎN+,$xi(n)ÎFi(i

6、=1,2),使得r(x1(n),x2(n))

7、fÎM}是列紧集.证明:设A={F(x)=ò[a,x]f(t)dt

8、fÎM}.由M有界,故存在K>0,使得"fÎM,r(f,0)£K.先证明A是一致有界的和等度连续的."FÎA,存在fÎM,使得F(x)=ò[a,x]f(t)dt.由于r(F,0)=ma

9、xxÎ[a,b]

10、F(x)

11、=maxxÎ[a,b]

12、ò[a,x]f(t)dt

13、£maxxÎ[a,b]

14、f(t)

15、·(b-a)=r(f,0)·(b-a)£K(b-a).故A是一致有界的."e>0,"s,tÎ[a,b],当

16、s-t

17、

18、F(s)-F(t)

19、=

20、ò[s,t]f(u)du

21、£maxuÎ[a,b]

22、f(u)

23、·

24、s-t

25、=r(f,0)·

26、s-t

27、£K·(e/K)=e.故A是等度连续的.由Arzela-Ascoli定理,A是列紧集.1.3.6设E={sinnt}n³1,求证:E在C[0,p]中不是列紧的.

28、证明:显然E是一致有界的.根据Arzela-Ascoli定理,我们只要证明E不是等度连续的即可.我们的想法是找一个E中的点列fn,以及[0,p]中的两个点列sn和tn,使得

29、sn-tn

30、®0,但

31、fn(sn)-fn(tn)

32、不收敛于0.事实上,这是可以做到的,只要令fn(u)=sin(2nu),sn=(p/2)(1+1/(2n)),tn=(p/2)(1-1/(2n)).则sn+tn=p;sn-tn=p/(2n)®0 (n®¥).因此,

33、fn(sn)-fn(tn)

34、=2

35、sin(2

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