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1、山东师范大学试题綜甫(时间:120分共100分)课程编号:4081331课程名称:数学分析方法适川年级:2004数学试题类别:补考学制:四适用专业:数学与应川题号—・二三阅卷人复核人得分考生注意事项得分阅卷人1、全题三个大题,22个小题。一、判断题判断正确(J)与错误(X)(本题10个小题,每题3分,共30分):1、()距离空间X中的序列{%}收敛于ZeX的充要条件是{%}的任意子列收敛于/;t2、3、4、5、6、7、8、9、10、P3112任一离散空间必是完备的;t3119全有界集不一定对分;F31221相对紧集的闭包是紧集;t31334完备距离
2、空间的闭子空间可能是完备的;f31329X是完备距离空间,T:FTFuX闭,()()()()()如果存在aw[0,1),使X?(7x,Ty)3、
4、/
5、
6、=max
7、/(x
8、)
9、H构成一Banach空间。证V显然C[a,b]为一线性空间;2°11/11=max/(xl>0;u0,使得m,n>N时,有Q(九,£)=
10、
11、九-九
12、
13、<£。依范数定义有,对/xea,b]有
14、ZnW-/nMS喇尢(兀)-无(M=优-£
15、'从而,当m,n>N时I九(兀)-£(兀)",Vxea,b所
16、以{ftl(x)}在[d“]上一致收敛。故^f^^C[a,b]使得/”&)一致收敛于/(x),亦BPp(A,/)=
17、
18、L-/Ho,Gtoo)所以C[a,b]的完备性得证综合以上三点,即得证報S哥2、试证紧距离空间上的连续泛函是一致连续的。证设/是紧距离空间X上的连续泛函。下用反证法证明。若/不是一致连续的,则必存在£()>0,使得对任意的自然数川,都存在耳,儿wX,使得儿)=
19、
20、耳-儿
21、
22、<丄,而
23、
24、/(£)7()订
25、氓,又X是紧n的,故{xn}中存在收敛子列xnk},设f,再rhpU儿J5比'心J+,儿JT0,所以几T兀。故有所以・f-•致连续
26、3、证明隐函数存在定理:设函数/(x,y)在条形闭区域:a27、(卩以兀)-GO)
28、02(兀)-01(对1_晋02GO-(P(x)-+人[兀0(x)+。(02G
29、)-0&))肠2GO-0trimm由于0<亠<1,所以Ovl—竺vl,令a=l一一,MMM便有®X兀)-W0X兀)§咖2(兀)一0(刖’所以卩02-T0II-创02-0
30、
31、这就说明T是C(Q,b)中的压缩映彖。rhBanach压缩映彖原理,有唯一的(pwC(a,b)使得T(p=(p,这就是说/(兀,0(兀))三0,al,g(/)是区间[a,b]±的可测函数。如果对任何x(t)eLpayb](l/〃+l/q=l),积分恒存在,那么/"丘厶即⑦方]。证对每个口然数〃,令&(/)=["牛,则g”(J是有界口J测函数。[o,
32、g(q>〃
33、作Lp[a,b]±.的线性泛函Fn(x)=fx(f)g“(讪(x(z)€Lp[tz,/?])o利用HoIder不等式,易知代(x)是/[a,b]上的有界线性泛函。因为•x(/)g“(r)
34、s
35、x(F)g(",而M)g(d可积,故由积分控制收敛定理,知卜(r)g“("可积,并HlimFn(x)=fx(t)g(t)dt。"TOO4/ttt_—h4乔綜甫®所以sup
36、/^(x)
37、<4-00,故由共鸣定理得sup帆
38、
39、=MV+00,因而专打
40、}有界。n>fi>然后由F”(signg”("g”")=f
41、g”WT曲VIEIlJIsigngQg”©%”即知(
42、f
43、g"CF町闯。因此『
44、久何'力}有界。最后由f
45、g&)T力巳型』久胖力v亦即得几