泛函分析解答

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1、3.1.2求证:
函数不是局部可积函数．注证明用反证法.如果fx()
L,kkloc使得
,=fx()(xdx)1(
D()).Cen矛盾0取(xj)=(kx),k
N.其中k1注2Ce1x()x<1jx()=n.B(),1fx()k(xdx)k01()xCfnB(),1

2、

3、0()xdx则有k(积分的绝对连续性).3.1.4(2).求证:k(0)=fx()k(xdx)x21ex4t
()(t0.+)

2t1CenB(),1fx()k(xdx)k12应用微分中值定理,(xx)(0,)=!()

4、令Mx=sup!(),则有xTdefx2TT证明令fx()=1e4t.TTfxtt()(x)(0)dxMxfxdx()t2tx2xt=2uTxt=2uMMTu224t2t1u==tTxedxT2tuedufxdxt()==edu122t42Mtu2Mt
D(),不妨设==0uedu003(t+)()suppT,,]则有联合(1)-(3)即得ft,,
ftt,,00
(+).于是=fx()()()x0dxtft,,
(
D()).()0fxdxt()x

5、TT3.2.2设+Tfxt()()()x01dx()xt=2u2ufxdxt()=edu002()t+()xTuT2t34defm!"#22"=supx'()x()m=1,2,,(1x+)'()xm"#,2m$%x1>x
Rn&mm2""mm2x2'()x2x2'()x!n求证(m是S(R)上的等价2m2m222m模.xxx==()(12+xx++n)证明等价就是导出相同的收敛性,再应用Taylor公式:!x1,(与(都等价于mm!"mm(tt12+++tn)=+"!t(t,n
R'"(x)的一致收敛性.故只需

6、考"=m取tx=2,便有xx2m=+m!2"虑x1>.用一个辅助不等式:kk"!"=m2222当xxxx=++,x1>2m#"m!2#12nxxxx'()=+"!'()时,"=m"#2k2kk2k2k'Csupxm(x)x1<+(x2)<(x2)

7、来证.2k2x1<+(x)中,取k,=m便有2Taylor公式mmm22m(xx++x)=+m!x"(x,n
Rx1<+(x,)而x12n"!"=m"mn1+""""""""xx=12xxxn12xxxn=用到R,12n12n222m(1,,,,,12n)"!=("""012,,,,"n)"22故x1x.<+()于是mm2222m2(11+)=+(12+++n)"#2"supx'()xsup1(+x)'()x=++m!((1C2"022""1n2"=C+"#,m$$"#,m("!)1nnn%%"!=mm""mxx
R&&

8、R2"2m"#22"supx'()xsup1(+x)'()x其中"#,2m$$"#,2mCCm,nma==x,m!xx
Rnn&&%%
R(){"!}"m故有注!.2"22""""""1n1n1n222m2m====1n1n1n78m!2另一方面,由1得到'x=sgnx.'x='(sgnx.,)"!2mm!2"22""2"'=!=+(11+)=++((0)1n=+.(sgnx.,)sgnx,(sgnx)"!1n"!=mm"!=

9、

10、m0+2=!!dx0dx=2(0)=2
0',x"!=m

11、."0+"12

12、+"++"."n

13、m'nnxx2=''22n='
2()"=0,"+"++"=m/012n=2='

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14、

15、m012n3xx0(>)3x=+0x0()"=m,"+"++"=02012n333+'x,='x,!!=xdx+++故有3331222m=00+x!!dx=+xdx=+3xHx()dx""++(1C+)331""mm'xx=3H(x).+3.3.1(1)3.3.2(1)'