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1、AnswertoHomework(A)P+Q是投影()ranP?ranQ.证明:(=：1.如果P=0orQ=0，显然。2.如果P6=0andQ6=0,*ranP?ranQ,)=0;8h2H;)===0。(*P6=0是投影,)P是自伴的.)同理，===0.)=0;8h2H。注意到，(PQ+QP)¤=(PQ)¤+(QP)¤=Q¤P¤+P¤Q¤=QP+PQ=PQ+QP;)PQ+QP是自伴的,)kPQ+QPk=sup8khk=
2、1j<(PQ+QP)h;h>j=0;)PQ+QP=0=)P+Q是幂等的，因为(P+Q)2=(P+Q)(P+Q)=P2+PQ+QP+Q2=P2+0+Q2=P2+Q2=P+Q:同时PQ+QP=0还表明P+Q6=0.若不然，P+Q=0，则Q=¡P;)P(¡P)+(¡P)P=0,即¡2P2=0;)P2=0.*P是投影，)P是幂等的，)P=P2=0与已知P6=0矛盾。综上，P+Q6=0是幂等算子，并且(P+Q)¤=P¤+Q¤=P+Q;)P+Q是投影。=)：1.如果P=0orQ=0，显然。2.如果P6=0andQ6=0,*P+Q是投影,)P+Q是幂等的,
3、即(P+Q)2=P+Q,而(P+Q)2=P2+PQ+QP+Q2=P+(PQ+QP)+Q（因为P;Q是幂等的）,)PQ+QP=0;)P+Q6=0.若不然，P+Q=0，则Q=¡P;)P(¡P)+(¡P)P=0,即¡2P2=0;)P2=0,与已知P6=0矛盾。下面只需证8h2H;Q(Ph)=0.(即Ph2KerQ=(ranQ)?,由h2H的任意性可知ranP½(ranQ)?;)ranP?ranQ:)1*P+Q6=0是投影，)P+Q:H¡!ran(P+Q)是正交投影。注意到，(P+Q)(QPh)=PQPh+Q2Ph=¡QPPh+Q2Ph(*PQ+QP
4、=0)=¡QPh+QPh=0(*P2=P;Q2=Q),)QPh2Ker(P+Q)=(ran(P+Q))?(*P+Q是投影),)=0;8g2H:特别地，当g=Ph时，有：0==+=+kQP(h)k2,*Q6=0是投影,)>0;8h2H;)kQP(h)k2=0=)kQP(h)k=0;and=0.证毕。(B)P+Q是投影=)ranP+ranQ=ran(P+Q);Ker(P+Q)=KerPKerQ:证明：I)P+Q是投影
5、=)ranP+ranQ=ran(P+Q)1.如果P=0orQ=0，显然。2.如果P6=0andQ6=0,这时可以证明P+Q6=0:（上面已证）首先，ran(P+Q)½ranP+ranQ，显然。下证ran(P+Q)¾ranP+ranQ，即8h;g2H;Ph+Qg2ran(P+Q):*P+Q6=0是投影，)P+Q:H¡!ran(P+Q)是正交投影，而(P+Q)(Ph+Qg)=P(Ph+Qg)+Q(Ph+Qg)=P2h+PQg+QPh+Q2g=Ph+Qg，(这是因为由（A）知P+Q是投影()ranP?ranQ()ranP½(ranQ)?=KerQ(
6、Q是投影),ranQ½(ranP)?=KerP(P是投影),*QPh2ranP½KerQ,)QPh=0.同理，PQg=0.))Ph+Qg2ran(P+Q),)ranP+ranQ½ran(P+Q).2综上可知，ranP+ranQ=ran(P+Q):II)P+Q是投影=)KerP+KerQ=Ker(P+Q)首先，Ker(P)Ker(Q)½Ker(P+Q)，显然。下证Ker(P)Ker(Q)¾Ker(P+Q),即8h2Ker(P+Q);Ph=0andQh=0.*(P+Q)h=0,)P(P+Q)h=0;Q(P+Q)h=0,)(P2+PQ)h=0;
7、(QP+Q2)h=0,)Ph+PQh=0;QPh+Qh=0,而PQh2ranQ½KerP;QPh2ranP½KerQ,)Ph=0;Qh=0,)Ker(P+Q)½KerPKerQ,综上可知，KerP+KerQ=Ker(P+Q):(C)PQ是投影()PQ=QP:证明:=)充分性：1.如果P=0orQ=0，显然。2.如果P6=0andQ6=0,(2.1)PQ=0时,(PQ)¤=0=Q¤P¤,)QP=0(*Q¤=Q;P¤=P),)PQ=QP.(2.2)PQ6=0时,*PQ6=0是投影,)PQ是自伴的,即(PQ)¤=PQ,)Q¤P¤=PQ,)QP=P
8、Q(*P;Q6=0是投影,)P;Q是自伴的).(=必要性：*PQ=QP;)(PQ)2=(PQ)(PQ)=P(QP)Q=P(PQ)Q=P2Q2=PQ;)PQ是幂等的.
