《应用泛函分析》习题解答

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1、泛函分析与应用-国防科技大学第一章第　一　节3．设是赋范空间中的Cauchy列，证明有界，即。证明：，，当时，有，不妨设，则。取，则有，令，则。6．设是Banach空间，中的点列满足（此时称级数绝对收敛），证明存在，使（此时记为，即）.证明：令，则。由于绝对收敛，则它的一般项。因此，总，当时，有，所以是中的Cauchy列，又因为是Banach空间，则必存在，使得。9．（Hamel基）设是线性空间的非空子集，若中任意多个元素都是线性无关的，则称是线性无关的。若是线性无关的，且，则称是是的一个Hamel基

2、。此时若是无穷集，则称是无穷维的；若是有限集，则称是有限维的，并定义的维数为中所含有的元素个数。通常用表示的维数，并约定当时，，可以证明任何线性空间都存在Hamel基。证明酉空间的维数为，并问当视为实线性空间时，其维数是多少？证明：设，，则有。令，则对任意的，必有，因此是空间的基，则。当视为实线性空间时，可令基为，则对任意的，有，所以。10．证明，这里。证明：取，只需证线性无关。为此对，令。则。因此必有，求该式求导后有。依次类推，有，所以对任意的，都有线性无关，即。第二节2.（点到集合的距离）设是的非

3、空子集，。定义到的距离为：证明：1)是的内点；2)是的孤立点，且；3)是的外点。解：1）必要性：是的内点，使得，都有18。充分性：，使得，使得是的内点。2）必要性：是的孤立点，且，使得，且，使得，且。充分性：，且，使得，使得是的孤立点。3）必要性：是的外点，使得，都有。充分性：，使得是的外点。3．设是中的非空闭集，证明：。解：必要性：，使得。充分性：，使得。7．举例说明无穷多个闭集之并不一定是闭集。解：。8．证明。证明：设，使得。若中有无穷项互异，则；否则有无穷多相取同一个值，则，由此可知：，则。另一

4、方面，由于且，所以。综上所述，有。9．证明：1）的内部是含于的最大开集，即；2）的闭包是包含的最小闭集，即。证明：1）设是含于的最大开集，则。设，使得，使得。所以。综上所述，，则表明的内部是含于的最大开集。2）设是包含的最小闭集，且。设，使得，使得，所以。综上所述，，则表明的闭包是包含的最小闭集。10．利用习题9的结论证明：1），2）。证明：1）。是开集，而由习题9的结论可知，是含于的最大开集，所以。此外，设，而。由，使得，使得。18（1）而由，都有，此与（1）式矛盾，故，所以。综上所述，有。2）。这

5、表明是包含的闭集，而由习题9的结论可知，是包含的最小闭集，所以。此外，设。由，都有，都有。特别有，因此取，所以有且，故，所以。综上所述，有。12．设。试写出，及的孤立点的全体。解：；；的孤立点。13．设、、均是的子集，且，证明：1）若在中稠密，则在中稠密；2）若不中稠密，则不在中稠密。证明：1）在中稠密，存在，使得，存在，使得在中稠密。2）不在中稠密和，使得和，使得不在中稠密。第三节2．设，，且，证明：。证明：设；另一方面，设。综上所述，。4．设，，证明：1）在处连续只要满足，则；2）在处连续对于任意

6、，存在，使。证明：1）必要性：若，且对于任意，存在，使得当时，有。再由在处连续对于任意，存在，使得当，。若取，则表明对于任意，存在，当时，有，因此。充分性：对于任意，存在，使得当时，有；对于任意，存在，使得当时，有，显然对于特定的，也存在，使得当时，有18。因此取，对于任意的，存在，使得当，有，所以在处连续。2）必要性：在处连续对于，存在，使得当时，有。所以对于，都有，因此。充分性：设，由条件可知，，存在，使得当时，都有，由连续的定义可知，在处连续。5．（集合的边界）称集为集合的边界，记为，并称中的点

7、为的边界点。证明：1），即的任何领域内既有的点，又有的点；2）且。证明：1）必要性：且。由，使得，存在，使得当时，有的任何领域内既有的点。由存在，且，存在，使得当时，有的任何领域内既有的点。充分性：显然成立。2）必要性：且。由，使得，而。由，使得，而。充分性：由，使得。由，使得。所以，。6．验证例4中构造的泛函满足题给条件。已知：，和是中互不相交的非空闭集。验证：由于，且当时，；时，。9．证明开集总可以表示为可列个闭集之并，而闭集总可以表示为可列个开集之交。证明：（1）设是闭集，不妨设。令，则是开集，

8、且，于是。另一方面，设，即。因此。综上所述，。因此闭集总可以表示为可列个开集之交。（2）利用（1）中的结论以及deMorgan公式，可得：。显然是开集，是闭集，这表明开集总可以表示为可列个闭集之并。10．设均是实赋范空间，是连续映射，且满足可加性：对任意18，恒有。证明：是线性算子。（提示：注意到非零有理数形如（，与互质），先对有理数说明，然后利用连续性。）证明：令为（1）式。则在（1）式中，当时，有；当时，有，令此式为（2）式。此外利用（1）式还可得：