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时间:2020-04-30
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1、泛函分析与应用-国防科技大学第一章第 一 节3.设是赋空间中的Cauchy列,证明有界,即。证明:,,当时,有,不妨设,则。取,则有,令,则。6.设是Banach空间,中的点列满足(此时称级数绝对收敛),证明存在,使(此时记为,即).证明:令,则。由于绝对收敛,则它的一般项。因此,总,当时,有,所以是中的Cauchy列,又因为是Banach空间,则必存在,使得。9.(Hamel基)设是线性空间的非空子集,若中任意多个元素都是线性无关的,则称是线性无关的。若是线性无关的,且,则称是是的一个Hamel基。此时若是无穷集,则称是无穷维
2、的;若是有限集,则称是有限维的,并定义的维数为中所含有的元素个数。通常用表示的维数,并约定当时,,可以证明任何线性空间都存在Hamel基。证明酉空间的维数为,并问当视为实线性空间时,其维数是多少?证明:设,,则有。令,则对任意的,必有,因此是空间的基,则。当视为实线性空间时,可令基为,则对任意的,有,所以。10.证明,这里。证明:取,只需证线性无关。为此对,令。则。因此必有,求该式求导后有。依次类推,有,所以对任意的,都有线性无关,即。第二节2.(点到集合的距离)设是的非空子集,。定义到的距离为:证明:1)是的点;2)是的孤立点
3、,且;3)是的外点。解:1)必要性:是的点,使得,都有。充分性:,使得,使得是的点。2)必要性:是的孤立点,且,使得,且,使得,且。充分性:,且,使得,使得是的孤立点。3)必要性:是的外点,使得,都有。充分性:,使得是的外点。3.设是中的非空闭集,证明:。解:必要性:,使得。充分性:,使得。7.举例说明无穷多个闭集之并不一定是闭集。解:。8.证明。证明:设,使得。若中有无穷项互异,则;否则有无穷多相取同一个值,则,由此可知:,则。另一方面,由于且,所以。综上所述,有。9.证明:1)的部是含于的最大开集,即;2)的闭包是包含的最小
4、闭集,即。证明:1)设是含于的最大开集,则。设,使得,使得。所以。综上所述,,则表明的部是含于的最大开集。2)设是包含的最小闭集,且。设,使得,使得,所以。综上所述,,则表明的闭包是包含的最小闭集。10.利用习题9的结论证明:1),2)。证明:1)。是开集,而由习题9的结论可知,是含于的最大开集,所以。此外,设,而。由,使得,使得。(1)而由,都有,此与(1)式矛盾,故,所以。综上所述,有。2)。这表明是包含的闭集,而由习题9的结论可知,是包含的最小闭集,所以。此外,设。由,都有,都有。特别有,因此取,所以有且,故,所以。综上所
5、述,有。12.设。试写出,及的孤立点的全体。解:;;的孤立点。13.设、、均是的子集,且,证明:1)若在中稠密,则在中稠密;2)若不中稠密,则不在中稠密。证明:1)在中稠密,存在,使得,存在,使得在中稠密。2)不在中稠密和,使得和,使得不在中稠密。第三节2.设,,且,证明:。证明:设;另一方面,设。综上所述,。4.设,,证明:1)在处连续只要满足,则;2)在处连续对于任意,存在,使。证明:1)必要性:若,且对于任意,存在,使得当时,有。再由在处连续对于任意,存在,使得当,。若取,则表明对于任意,存在,当时,有,因此。充分性:对于
6、任意,存在,使得当时,有;对于任意,存在,使得当时,有,显然对于特定的,也存在,使得当时,有。因此取,对于任意的,存在,使得当,有,所以在处连续。2)必要性:在处连续对于,存在,使得当时,有。所以对于,都有,因此。充分性:设,由条件可知,,存在,使得当时,都有,由连续的定义可知,在处连续。5.(集合的边界)称集为集合的边界,记为,并称中的点为的边界点。证明:1),即的任何领域既有的点,又有的点;2)且。证明:1)必要性:且。由,使得,存在,使得当时,有的任何领域既有的点。由存在,且,存在,使得当时,有的任何领域既有的点。充分性:
7、显然成立。2)必要性:且。由,使得,而。由,使得,而。充分性:由,使得。由,使得。所以,。6.验证例4中构造的泛函满足题给条件。已知:,和是中互不相交的非空闭集。验证:由于,且当时,;时,。9.证明开集总可以表示为可列个闭集之并,而闭集总可以表示为可列个开集之交。证明:(1)设是闭集,不妨设。令,则是开集,且,于是。另一方面,设,即。因此。综上所述,。因此闭集总可以表示为可列个开集之交。(2)利用(1)中的结论以及deMorgan公式,可得:。显然是开集,是闭集,这表明开集总可以表示为可列个闭集之并。10.设均是实赋空间,是连续
8、映射,且满足可加性:对任意,恒有。证明:是线性算子。(提示:注意到非零有理数形如(,与互质),先对有理数说明,然后利用连续性。)证明:令为(1)式。则在(1)式中,当时,有;当时,有,令此式为(2)式。此外利用(1)式还可得:,令此式为(3)式。又,且,有,有,
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