2、)，于是dxydxzdzy(,)≥−(,)(,)和dxydzydxz(,)≥−=(,)(,)−−[(,)dxzdzy(,)]这样dxy(,)
3、(,)≥−dxzdzy(,)
4、。∞()kk()()k2.证明：任取X的一个Cauchy序列{x=(,,,)ξξ"ξ}，由kn12k=1∞()k(0)limdxx(−=)0及知道{ξ}为Cauchy数列，因此存在ξ∈R使∞kliikl,→∞k=1()k(0)limξξ==,in1,2,",。iik→∞(0)(0)(0)记x=(,,,)ξξ"ξ。对任意ε>0，由上式，存在自然数N使得当kN>时，012n()k(0)
5、
6、ξξε−<=,in1,2,",。这样
7、就当kN>时，有dxx(,)<ε，即有ii∞k0limdxx(,)=0。所以(,)Xd是完备的。∞k0∞k→∞3.证明：对任意的α=(,)xy与α=(,)xyXY∈×，令111222dd(,)αα=+(,)xxd(,)yy；112XY121222dd(,)αα=+(,)xxd(,)yy212XY1212可以验证d与d均是X×Y的度量。12关于d的验证很容易，略去，我们仅验证d。12对于任意的α=(,)xy，α=(,),xyxα=∈(,)yX×Y，111222333d(,)0αα≥，d(,)0ααα=⇔=α，dd(,)ααα=(,)α是显然的。21221212212221222dd(,)αα
8、=+(,)xxd(,)yy212XY121222≤+++()dxxdxxXX(,)13(,)32()dyydyyYY(,)13(,)322222≤++++dxxdxxdyydyy(,)(,)(,)(,)2(,)(,)2(,)(,)dxxdxx+dyydyyXXYY13321332X13XY3113Y312222≤+++dxxdxxdyydyy(,)(,)(,)(,)XXYY133213321/21/22222++2(,)(,)()dxxdyyXY1313()dxxdyyXY(,)(,)32+3221/21/22222=+++(()dxxdyyXY(13,)(13,)()dxxdyyXY(3
9、2,)(32,))2=+()dd213(,)(,)αα232αα所以ddd(,)ααα≤+(,)(,)ααα。这样d为X×Y上的一个度量（距离）。21221323224.证明：对于任意的x(),()tytCab∈[,]，及λ∈F，b（i）qx()0≥，且当qx()=∫
10、()
11、xtdt=0时，可知x()0,ta=≤≤tb，即x=0。abb（ii）q(λλλx)===∫∫
12、xt()
13、dt
14、
15、
16、()
17、xtdt
18、
19、()λqx；aabbb（iii）qxy(+=)∫∫
20、()xtytdt+()
21、≤
22、()
23、xtdt+∫
24、()
25、ytdtqxqy=+()()。aaa所以q为空间Cab[,]上的一个范数。
26、
27、
28、
29、
30、∞∞5.证明：设范数为
31、
32、
33、
34、。任取{}f()xK⊂使得f()xf→∈()xC[,]ab。由于∞nn=1n
35、()()
36、
37、fxfxff−≤−
38、
39、
40、，x∈[,]ab。nn∞所以，对任意的x∈[,]ab，limf()xfx=()，由于fx()0≥，对nxa≥∈1,[,]b，nnn→∞所以fx()0≥，对x∈[,]ab，即有f∈K。这样K就是闭集。6证明：不妨设X是非平凡的，即含有非零向量。对于任意的nm,1≥，由
41、
42、x−≥−xxx
43、
44、
45、
46、
47、
48、
49、
50、
51、
52、
53、
54、可知道，{
55、
56、x
57、
58、}是一个Cauchy数列，令lim
59、
60、x
61、
62、=λ。若nmnmnnλλ=0，取x=θ，就有limx=x。当λ≠0，任取x'∈
63、X，x'≠θ，令x=x'，nn→∞
64、
65、'
66、
67、x则
68、
69、
70、
71、x=λ，则limx=x。nn→∞∞∞7.证明：（1）任取子列{x}⊂{}x和{yy}⊂{}，对于任意的ε>0，由nnkk=1mnkk=1lim
72、
73、xy−=
74、
75、0，存在自然数N使得当kN>时，
76、
77、xy−
78、
79、<ε。nnkkn→∞由于nmk→∞,()→∞→∞，所以存在自然数K使得当kK>时，kknNmN>>,，从而
80、
81、xy−<
82、
83、ε。所以lim
84、
85、xy−
86、
87、0=，即这两个
