2、)；(5)可测函数空间m(X)；(6)CM"］空间；(7)广。一、度量空间的极限、稠密集、柯西点列1、度量空间中的极限：设｛入中点列，如果存在xeX，使lim〃(£")=0,则称点列｛心｝是以,〃)中的收敛点列,兀是点列｛乙｝的极限，设M是度量空间(X,d)屮的点集，如果M屮任何收敛点列的极限都在M屮，那么称M是闭集。2、稠密集：设X是度量空间，M和E是X44两个子集，令M表示M的闭包，如果EczM,那么称集M在集E中稠密，当E=X时称M为X的一个稠密子集。3、柯西点列：设｛百｝是度量空间(X,d)中的点列，若VQO,3NeN,使当m,n>N时，有d(x〃?
3、,x〃)<£,称｛｝是度量空间(X,d)屮的柯西点列。二、下面总结五种重要的度量空间:1、可分空间：如果度量空间X有一个可数的稠密子集，则X是可分空间，常见的可分空间有：(1)n维度量空间，(2)可数的离散度量空间。2、完备度量空间：若X中的任一Cauchy列都在中收敛,则度量空间(x,〃)是完备的度量空间。常见的完备度量空间有：(1)I(2)C(3),不是完备度量空间的有：,相关的定理有：(1)完备度量空间X的子空间M是完备空间的充耍条件为M是X中的闭子空间2、线性空间：设X是一非空集合，若X屮的元素满足(1)关于加法成为交换群；(2)对于X中每个元素兀w
4、X,存在r/eX,满足1)1无=无2)a(bx)=(ab)x3)(a+b)x=ax+bx,a(x+y)=ax+ay则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间；常见的线性空间有：1)Rn2)C[a.b]3)空间卩3、赋范线性空间：设X是数域K上的线性空间，若VXeX,都有一个实数I丨Q丨与之对应，使得FX,yWX,(IeK,且满足(1)x\^0,II%I
5、=0<=>x=0；(2)
6、
7、ax
8、I二
9、ClI
10、Ix：I；(3)II11^11Il+lIyIh则称1111为％的范数，x按范数1111成为赋范线性空间。常见的赋范线性空间：1)Rn；2)空间C[a,b]；3)
11、空间严，重要的定理有：丄1)当〃X1时，Lp[a,h]按
12、
13、f\=(匕
14、/(/)rdtY中范数II/lip成为赋范线性空间；2)设X是n维赋范线性空间，｛弓勺，…疋」是X的一组基,则存在常数M和M',使得对一切nn2丄天=工珂坯成立，M
15、
16、x
17、
18、W（工
19、坯丨y20、数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。三、连续映射、压缩映射、巴拿赫不动点定理（压缩映射定理）1、连续映射:设卩是度量空间（X,d）到度量空间Y=（Y,d）中的映射，那么卩在^oeX连续的充要条件为当时，必有7xH->7x0（H^o））x,y；2、压缩映射：当卩是X到X的一个自映射，若存在常数Q（OVaVI）,使对FX、ywX,有〃（TX,Ty）Wad（x,y）,则称T为X上的压缩映射。重要定理：1）设函数/（%』）在带状域a21、方程f（兀,歹）=°在区间匕b]上必有唯一的连续函数歹=0（%）作为解：/（兀肖（兀））=0,xe[a.b]3、巴拿赫不动点定理（压缩映射定理）：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么卩有且只有一个不动点（就是说，方程Tx二x有且只有一个解)；四、线性算子、有界线性算子和连续线性泛函1、线性算子：假设X和Y是两个同为实的线性空间，D是X的线性子空间，卩是D到Y中的映射，如果对任何兀及理，有T(x+y)=Tx+Ty,T(ax)=aTx，则称厂为。到Y中的线性算子。2、有界线性算子和连续线性泛函：设X和Y是两个赋范线性空间，：T是X的线性子空间D(T)到
22、丫中的线性算子，如杲存在常数C,使对所有xeD(T)
