泛函分析论文

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1、泛函分析期中课程论文泛函分析是一门非常有用的学科，主要涉及赋范空间，有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。现在主要总结第七章和第八章的知识体系。度量空间是现代数学中一种基本的、重要的抽象空间，设X为一个集合，若对X中任意两个元素3,都有唯一确定的实数对d(s)与之对应，而II这一对应关系满足下列关系：(I)d(x,y)»O,且d(x,y)=O当且仅当x=y;(II)d(兀,y)5d(兀,z)+d(y,z)，贝U称X是度量空间，常见的度量空间有：(1)n维度量

2、空间；(2)离散的度量空间；(3)序列空间S；(4)有界函数空间B(A)；(5)可测函数空间m(X)；(6)CS，®空间；(7)I2o一、度量空间的极限、稠密集、柯西点列1、度量空间中的极限：设｛&｝是(X,d)中点列，如果存在xeX，使limd(£,x)=O,则称点列｛&｝是&,〃)中的收敛点列,/?—>00x是点列｛X"｝的极限，设M是度量空间(x,d)中的点集，如果M中任何收敛点列的极限都在M屮，那么称M是闭集。2、稠密集：设X是度量空间，M和E是X中两个子集，令M表示M的闭包，如果Eum,那么

3、称集M在集E中稠密，当E=X时称M为X的一个稠密子集。3、柯西点列：设｛兀｝是度量空间(X,d)中的点列，若VQO,3NeN,使当m,n>N时，有“段恥忑)称｛兀｝是度量空间(X,d)中的柯西点列。二、下面总结五种重要的度量空间:1、可分空间：如果度量空间X有一个可数的稠密子集，则X是可分空间，常见的可分空间有：(1)n维度量空间，(2)可数的离散度量空间。2、完备度量空间：若X中的任一Cauchy列都在(X,〃)中收敛,则度量空间(X,d)是完备的度量空间。常见的完备度量空间有：(1)/8(2)C(

4、3)C[a,b],不是完备度量空间的有：P[ci,b],相关的定理有：(1)完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X屮的闭子空间2、线性空间：设X是一非空集合，若X中的元素满足(1)关于加法成为交换群；(2)对于X中每个元素XwX,存在UWX,满足l)lx=x2)a(bx)=(ab)x3)(a+b)x=ax+bx,a(x+y)=ax+ay则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间；常见的线性空间有：1)Rn2)C[a,b]3)空间卩3、赋范线性空间：设X是数域K上的线性空间，若VXeX,都有一

5、个实数I丨XII与Z对应，使得FX,ywX,aeK,•且满足(1)

6、

7、兀

8、

9、20,

10、

11、兀

12、

13、二Oox二0；(2)

14、

15、ax

16、

17、=

18、a

19、

20、

21、X

22、

23、；(3)11x+yI1^1II1+1IyIH则称11^11为兀的范数，X按范数

24、丨兀丨丨成为赋范线性空间。常见的赋范线性空间:1)2)空间C[a,b].3)空间严，重要的定理有：丄1)当oxi时，按11门1产(上i/a)i"力)*中范数II成为赋范线性空间；2)设X是n维赋范线性空间，｛弓#2,…，勺｝是X的一组基，则存在常数M和M',使得对一切nn2丄x=成立

25、，Mllxll<（^ek）2

26、

27、兀

28、

29、和II训那么必存在常数M和M',使得M11^11<11^11,

30、量空间Y=（Y,d）中的映射，那么7在兀（）WX连续的充要条件为当etXoGtoo）时，必有TxnTx0（n->oo）x,y;2、压缩映射：当F是X到X的一个自映射，若存在常数G（0<^<1）,mvx,ywX，有〃（TX,Ty）Wa"（■y）,则称卩为X上的压缩映射。重要定理：1）设函数2y）在带状域6Z

31、）作为解：/（兀,0（兀））三0,兀W[a.b]3、巴拿赫不动点定理（压缩映射定理）：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程TX二X有且只有一个解)；四、线性算子、有界线性算子和连续线性泛函1、线性算了：假设X和Y是两个同为实的线性空间，D是X的线性子空间，卩是D到Y屮的映射，如果对任何兀VCD及oc,有T(x+y)=Tx+Ty9T(处)=aTx，则称卩为D到Y中的线性算子。2、有界线性算子和连续线性泛函：设X和