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1、试述Hilbert空间、Banach空间、距离空间、拓扑空间的概念及空间之间的关系。【摘要】讨论了H订bert空间、Banach空间、距离空间、拓扑空间的概念及空间Z间的关系。【关键词［Hilbert空间、Banach空间、距离空间、拓扑空间一、Albert空间有穷维线性空间可以引进各种种范数使它成为bananch空间，但是通常欧式空间的一个重要特性是它上面定义了内积，借助于内积就可以定义向量的长和两个向量的正交性。我们把这种方法推广到无穷维空间的情形，在下面里，我们引进内积空间Hilbert空间的概念。设H是域K上的线性空间，任意有一个K中数(x,y
2、)与之对应，使得对任意x,y,zgH,agK满足：(l)(x,y)>0;(x,兀)=0,当且仅当x=0;⑵(x,y)=x),⑶(ax,y)=a(x,y(4)(x+y,z)=(x,z)+(y,z>称(，)是H上的一个内积，H上定义了内积称为内积空间。从定义可以看岀，内积(兀,y)对于每一ywH,是H上的一个线性泛函；当K=C时，对于每一"H,(x,y)是H上的一个共辘线性泛函，即它是可加的并II是共轨齐次的：(x,ay)=a(x,y定理1.11(Schwarz不等式)设H是内积空间，则对任意x.y^H有称内积空间的这个范数是由内积产生的范数，因此每一
3、个内积空间是赋范空间.以后凡说到内积空间是赋范空间都是指范数是由内积产生的•我们称完备的内积空间为Hilbert空间.例1.1.1川是(实)Hilbert空间.在定义R"中定义(兀,y)=左皿(兀=匕｝，尸｛%｝w尺")不难验证，(，)是一个内积，且由这个内积产生的范数为(nA2z、Wl=Zl^l'(2低｝丘川)k=丿试述Hilbert空间、Banach空间、距离空间、拓扑空间的概念及空间之间的关系。【摘要】讨论了H订bert空间、Banach空间、距离空间、拓扑空间的概念及空间Z间的关系。【关键词［Hilbert空间、Banach空间、距离空间、
4、拓扑空间一、Albert空间有穷维线性空间可以引进各种种范数使它成为bananch空间，但是通常欧式空间的一个重要特性是它上面定义了内积，借助于内积就可以定义向量的长和两个向量的正交性。我们把这种方法推广到无穷维空间的情形，在下面里，我们引进内积空间Hilbert空间的概念。设H是域K上的线性空间，任意有一个K中数(x,y)与之对应，使得对任意x,y,zgH,agK满足：(l)(x,y)>0;(x,兀)=0,当且仅当x=0;⑵(x,y)=x),⑶(ax,y)=a(x,y(4)(x+y,z)=(x,z)+(y,z>称(，)是H上的一个内积，H上定义了内
5、积称为内积空间。从定义可以看岀，内积(兀,y)对于每一ywH,是H上的一个线性泛函；当K=C时，对于每一"H,(x,y)是H上的一个共辘线性泛函，即它是可加的并II是共轨齐次的：(x,ay)=a(x,y定理1.11(Schwarz不等式)设H是内积空间，则对任意x.y^H有称内积空间的这个范数是由内积产生的范数，因此每一个内积空间是赋范空间.以后凡说到内积空间是赋范空间都是指范数是由内积产生的•我们称完备的内积空间为Hilbert空间.例1.1.1川是(实)Hilbert空间.在定义R"中定义(兀,y)=左皿(兀=匕｝，尸｛%｝w尺")不难验证，(，
6、)是一个内积，且由这个内积产生的范数为(nA2z、Wl=Zl^l'(2低｝丘川)k=丿因此疋是Hilbert空间.定理1.1.2设H是内积空间，则内积（x,y）是x,y的连续函数，即当£T兀,儿Ty,时，仇，儿）t（x,y定理1.1.3设H是内积空间，则对任意x.yeH9有以下关系式成立,1）平行四边形法则：卜+jf+
7、
8、兀-『『=2仙$+
9、
10、y
11、
12、2）；2）极化恒等式:（“）扌小+収+训2_卜一力『）.发的发注：若赋范线性空间X的范数不满足平行四边形公式，则X不能成为内积空间。定理1.1.4设X是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X中
13、定义一个内积，使得由它产生的范数正是X中原来的范数.二、Banach空间定义2.1.1设X是域K（实数域或复数域）上的线性空间，函数，：卜
14、
15、:XtR满足条件：1）对任意XGX,
16、
17、^
18、>0；
19、
20、a
21、
22、=0,当且仅当¥=0；2）对任意xeX,及°e=同阳（齐次性）；3）对任意x,ygX,
23、
24、x+^
25、
26、27、H
28、（三角不等式）.称卜
29、
30、是X上的一个范数，X上定义了范数卜
31、
32、称为赋范（线性）空间，记为（X,卜
33、
34、）,有时简记为X.在一个赋范线性空间（X』.I）屮通过范数可以自然地定义一距离，d（x，y）T
35、兀一Ml，x,.ywX.（2.1.1）事实上，由
36、范数公理，对任意x,y,zwX,J（x,y）=
37、
38、x—別=>0,_EL心y）=0,当且仅当
39、兀
