梁颖泛函分析论文ll

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1、试述距离空间、拓扑空间、赋范空间、完备空间的概念及空间之间的关系。【摘要】讨论了距离空间、拓扑空间、赋范空间、完备空间的概念及空间之间的关系。【关键词】距离空间、拓扑空间、赋范空间、完备空间一、距离空间定义1.1.1设是任一非空集，对中任意两点有一实数与之对应且满足：1)2)；3).称为中的一个距离，定义了距离的集称为一个距离空间，记为，在不引起混乱的情形下简记为.例1.1.1考虑区间上所有连续函数集，设是上任意两个连续函数，定义,由于也是上的连续函数，因此有最大值.距离公理显然成立.设是上任意三个连续函数，则,所以.上的连续函数全体赋以上述距离是一个距离空间，记它.例1

2、.1.2空间.设是一个Lebesgue可测集，,考虑上几乎处处有穷的可测函数全体，其中凡几乎处处相等的函数看成是同一元.定义.这是一个距离空间，把这个空间记为.例1.1.3离散空间.设是任一非空集，在中定义如下：不难验证是一个距离，从而使一个距离空间，称这个空间为离散空间，用表示.定理1.1.1设是距离空间中的收敛点列，则：1)的极限是惟一的；2)如果是的极限，那么的任一子列必收敛且以为极限.二、拓扑空间定义2.1.1设是任一集，是的子集构成的集族，且满足条件：1)集与空集∅属于;2)中任意个集的并集属于；3)中任意有穷个集的交集属于.则称是上的一个拓扑.集上定义了拓扑，

3、称它是一个拓扑空间，记为.例1设是距离空间，中的开集族满足拓扑空间的公理。因此每一个距离空间是拓扑空间。例2设是任一集，令是的所有子集构成的集族，是一个拓扑空间。如果在同一集中令，也是一个拓扑空间。设在同一集上有两个拓扑，。如果，则称拓扑比拓扑弱或者拓扑比拓扑强。与距离空间一样，在拓扑空间中可以引进闭集、闭包、邻域等概念.设是一集，如果它的余集是开集，则称是闭集.有deMorgan公式，立刻可得闭集有以下基本性质：1)全空间及空集∅是闭集；2)任意个闭集的交集是闭集；3)任意有穷个闭集的的并集是闭集.以上可以得出特殊的Hilbert空间是Banach空间，Banach空间

4、是距离空间，特殊的距离空间是拓扑空间。