《泛函分析论文》word版

《《泛函分析论文》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、泛函分析在最优控制中的应用一、引言控制理论中几乎所有的问题，都可以用泛函分析中有关空间和算子的术语来描述，而泛函分析严谨广博的理论体系，对所研究问题的归属有明确的规定，同时可以向研究者提供解决的途径。例如，利用对偶空间和伴随算子的理论，可以解释控制理论中几乎所有的对偶定理。而这些定理的发现，大多也是数学结论直接演绎的结果。控制理论所研究的问题，可以概括为系统分析、系统综合、建模和优化，系统分析包括系统的稳定性分析，能控能观性分析，鲁棒性分析等，主要是分析用以描述系统行为的算子的特性。传统的分析方法是实用的，但只限于某些类型的非线性系统进行统一的处理，从而获得更加一般的结论

2、。系统的综合包括控制器和补偿器的设计等，使系统得以镇定或获得某种性能，这是分析的逆问题。传统的综合方法不仅费时费事，而且解决问题的范围比较狭窄。现代的综合方法倾向与构造能用于计算机实现某些算法。迭代算法或递推算法的收敛性分析，以及闭环控制的稳定性分析等，只有借助于泛函分析所提供的工具，才有可能使问题得以解决。系统建模和系统的最优控制，一般是在某些约束条件下，对某个泛函指标进行优化的问题，这更是泛函分析研究范围内的问题。在最优控制问题中，目的是根据被控对象的动态过程选取一个最优的容许控制，使得某一性能指标（泛函）达到最优值。从数学角度来看，这是求取一类带有约束条件的泛函极值

3、问题二、问题描述考虑一个动态系统（1）其中为n维状态向量；为m维控制向量；f为n维向量函数。确定一个最优的容许控制，使得系统产生一个容许状态满足目标集约束（2）同时，还要使性能指标（3）达到极值。在这个一般描述中，末端时刻可取两种情形：可固定，可自由；末端的状态可取三种情形：固定，自由及受约束。三、最优解的求取下面讨论末端时刻固定情形下的最优控制问题。此时问题（1）在数学上可以描述为（4）实际上，这属于一个有等式约束的泛函极值问题。因此拟用拉格朗日乘子法来解决。引入拉格朗日乘子向量和，构造广义泛函如下（5）定义哈密顿函数如下（6）则有（7）计算广义泛函的一次变分得（8）注

4、意到这个结果里没有出现项，是因为能引起广义泛函变分的只有和项，而非项。这样，根据变分基本定理，得到最优状态、最优控制及最优拉格朗日乘子应该满足的一组必要条件如下（9）（10）（11）另外，根据（6）式易得（12）方程（9）通常称为伴随方程或者共轭方程，在式中和形式上与（12）所示的状态方程中和的相对应的，状态方程中的对应于伴随方程中，状态方程中的对应与伴随方程中的，仅相差一个负号而已，这种对应关系使得伴随方程也称为协态方程，相应的称为伴随向量或协态向量。式（10）称为控制方程，也称为驻点方程因为通过可以求出与和的关系，它把状态方程和协态方程联系起来，故又称为耦合方程。式（

5、11）称为横截条件，根据终端状态的不同情形可以细分出三种结果：1、当固定时，，横截条件退化为；2、当自由时（即没有约束），横截条件退化为；3、当受约束时，横截条件为（13）状态方程与协态方程通常合称为正则方程，一般而言，一共个方程和个边界条件，如果将控制方程中求出的代入到状态方程中，便可求得和的唯一解，它们分别称为最优状态轨线和最优协态向量。哈密顿函数具有一个重要性质，推导如下：哈密顿函数对时间的全导数为（14）在最优轨线和最优控制上，有（15）将其代入（14）式整理可以得（16）即沿最优轨线哈密顿函数对时间的全导数等于对时间的偏导数。当不显含时间变量时，哈密顿函数沿最优

6、轨线是恒等于常数的。下面按照终端状态分为三种不同情况进行讨论⑴终端时刻固定终端状态固定情形下的最优解问题实现最优控制的必要条件为①最优状态和最优协态满足正则方程式中为哈密顿函数。②最优控制满足控制方程③边界条件⑵终端时刻固定终端状态自由情形下的最优解问题实现最优控制的必要条件为①最优状态和最优协态满足正则方程式中为哈密顿函数。②最优控制满足控制方程③横截条件⑶终端时刻固定终端状态受约束情形下的最优解问题实现最优控制的必要条件为①最优状态和最优协态满足正则方程式中为哈密顿函数。②最优控制满足控制方程③横截条件因此，一个最优控制问题的计算步骤可归纳如下：第一步、构造哈密顿函数

7、根据求出第二步、将代入状态方程，消去，根据给定的横截条件求解正则方程得到和；第三步、将和代入得到所求的最优控制。四、参考文献[1]王日爽，泛函分析与最优化理论，北京航空航天大学出版社[2]薛小平，武立中，孙立民，应用泛函分析，哈尔滨工业大学出版社[3]李国勇，最优控制理论与应用，国防工业出版社[4]朱经浩，最优控制中的数学方法，科学出版社