矩阵逆的等价定义数学论文

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1、矩阵逆的等价定义摘要：本文给出了两种矩阵逆及伴随矩阵的定义及性质，然后通过伴随矩阵的性质讨论定义2的合理性；证明了矩阵方程何时有解，何时有唯一解，何时无解的条件，同时类比最简单的代数方程“”，分析代数方程“”的求解过程，从而给出了逆矩阵和线性方程间的联系及逆矩阵的运算规律，特别对循环矩阵和对称矩阵逆的求解，为此类问题的解决提供简单，实用，统一的方法，对高等代数的学习有很好的借鉴作用。关键词：伴随矩阵；长方阵；循环矩阵；对称矩阵；逆引言：矩阵求逆是线性规划以及控制理论中的关键,然而许多矩阵的逆的求法具有一定的难度。本文研究了矩阵的逆的第二

2、定义及两种特殊矩阵逆的求法，并从中找出了一些初步的、具有应用价值的规律。一、可逆矩阵的定义：众所周知，n阶方阵的逆通常采用以下定义。㈠定义1：设为阶方阵，若有阶方阵，使则称为可逆矩阵，而为的逆矩阵，记作。上述定义中，用了两个矩阵方程，其中为n阶未知方阵。容易产生的问题是：能否只用一个方程，例如,来定义方阵的逆？答案是肯定的。下面给出方阵的另一种定义。㈡定义2：设是一个n阶方阵,如果存在一个n阶方阵，使得，则称为可逆矩阵，而称为的逆。为区别起见，在定义2下的逆记作。给出矩阵逆的定义后，自然应讨论定义的合理性。这就需要讨论：⑴可逆方阵的存在

3、性。即的确有可逆方阵存在，否则任一方阵都不可逆，那么定义就无意义。⑵可逆方阵逆的唯一性。如果一个方阵的逆不唯一，那么在使用上就会造成困难。首先给出伴随矩阵的定义及性质。1．伴随矩阵⑴定义：设，是元素的代数余子式，矩阵13称为的伴随矩阵．⑵性质：设矩阵是一个阶方阵，是它的伴随矩阵，则。证明：设，则计算得：当i=ji,j=1,2,…,n。当i≠j于是。同理可得。下面即讨论定义2的合理性。命题1：阶方阵在定义2意义下可逆的充要条件是的行列式不为零。证明必要性。设在定义2意义下可逆，则存在有阶方阵，使得，两边取行列式，即=1,因此≠0。充分性：

4、设≠0，记的伴随方阵为，取，则。因此在定义2意义下可逆。命题2：如果在定义2意义下可逆，则的逆是唯一的。证明如果在定义2意义下可逆，且有阶方阵和，使得，。则。由命题1知，≠0，取，为的伴随矩阵，则。故，命题2得证。13由命题2和命题1的充分性的证明立即可得：命题3如果是定义2意义下可逆的，则。命题1和命题2保证了定义2的合理性。现在来讨论定义1和定义2的等价性。我们有：定理1定义1和定义2等价。证明设阶方阵在定义1意义下可逆，则有阶方阵，使得，显然有，故在定义2下可逆。反之，设在定义2意义下可逆，则有，使得。显然：故适合。这表明在定义1

5、意义下也可逆。其次，在定义1意义下的逆，由命题3，在定义2意义下的逆，从而，证毕。2．长方阵由上面可以看出，定义阶方阵的逆，应讨论方程的解。这里是个未知数构成的阶方阵。如果对于给定的，方程有解，且解唯一，那么即称为可逆，而方程的解，亦称为的逆。现在转到长方阵的情形，我们期望把方阵逆的概念推广到长方阵，这自然要想到矩阵方程。首先应弄清楚，当是矩阵，是矩阵，为阶单位方阵时，方程何时有解，何时有唯一解？对此，有定理2设为矩阵，是未知矩阵，为阶单位方阵，矩阵方程（1）有解的充要条件是，这里表示矩阵的秩。证明必要性。用反证法。设方程有解，而=r＜

6、n，故有阶可逆方阵和阶可逆方阵，使得，代入得13。因是的解，故。记，这里为矩阵，为矩阵，为矩阵，由此即得，其中0为的零矩阵，这就导出矛盾。充分性。设，则有阶可逆方阵和阶可逆方阵，代入（1），其中表示阶单位方阵，则方程（1）化为同解方程，记，其中为矩阵，为矩阵。由上式即得，因此，故，此即为方程（1）的解。定理2获证。由定理2立即可得：推论1设为矩阵，当n>m时，方程（1）无解。证明因。由定理2即得此推论。推论2设为矩阵，且方程（1）有解，则其解依赖个独立参数。证明由定理2充分性的证明，方程（1）的解为，其中是任意的矩阵。推论3当为方阵，且

7、方程（1）有解，则其解唯一。证明此为推论2之特例。以上可以看出，矩阵方程，当为方阵，且解存在时其解才唯一。因此，从方程（1）的解出发，要把方阵推广到长方阵是不可能的。二、例题13例1．单位矩阵是可逆矩阵，且。例2．零矩阵不是可逆矩阵，因为对任意矩阵，有。例3．设，问是否可逆，若可逆，求。解：由，故可逆，且。例4．设，求。解：由，故可逆，且。一般地，，可逆。例5．，求。解：，，，，，，，，，，。13例6．设，是阶单位矩阵，且矩阵。问是否可逆，若可逆求。解：由于，所以。例7．设方阵满足方程，证明：，都可逆，并求它们的逆矩阵。　　证明：由得，

8、即：，故可逆，且，再由得，即：，故可逆，且。例8．证明：若，是一个正整数，则可逆且：。　　证明：由，则，从而可逆且。三、矩阵逆和方程解间的联系上面讨论了矩阵的加法、数乘和乘法三种运算及它们的实际背景．下面从