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1、第三节逆矩阵一、逆矩阵的定义1第二章矩阵及其运算线性代数三、用伴随矩阵求逆矩阵二、方阵A可逆的充分必要条件四、小结思考题2第二章矩阵的运算线性代数一、逆矩阵的定义在矩阵乘法中，单位阵具有与数1在数的乘法中类似的性质，那么，对于任意n阶方阵A都有而对于任意数，若时，使类似地,引入逆矩阵的概念定义8设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使则称A是可逆的,并称B是A的逆矩阵.3第二章矩阵的运算线性代数例如,由于所以是可逆矩阵,且的逆矩阵是.同样,当都不为零时,由4第二章矩阵的运算线性代数是其逆矩阵.知对角矩阵是可逆矩阵,且一般地,若都不为
2、零,则对角矩阵是对角矩阵的逆矩阵5第二章矩阵的运算线性代数这是因为:如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是惟一的.所以A的逆矩阵是惟一的.今后将A的逆矩阵记作.即若AB=BA=E,则二、方阵A可逆的充分必要条件设n阶方阵B、C都是A逆矩阵,则有6第二章矩阵的运算线性代数称为方阵A的伴随矩阵,习惯上常用或adjA表示.我们把中诸元素的代数余子式所组成的n阶方阵7第二章矩阵的运算线性代数注意:引理设A为n阶方阵,则证明根据第一章定理2及其推论,得中第i行第j列处的元素是而不是8第二章矩阵的运算线性代数9第二章矩阵的运算线性代数同理故有定
3、理2-1设A为n阶方阵,则A可逆的充分必要条件是当A可逆时,(5)证明若可逆，则由10第二章矩阵的运算线性代数从而A可逆,且证毕奇异矩阵与非奇异矩阵的定义设A为n阶方阵,当时,称A为奇异矩阵.否则,称A为非奇异矩阵.11第二章矩阵的运算线性代数证明推论若A、B都是n阶方阵,且AB=E,则在AB=E的两边同时左乘即得证毕可逆矩阵满足下列运算规律(设A、B均为n阶可逆矩阵,数):12第二章矩阵的运算线性代数证仅证(3),(4),(5).(3)因为13第二章矩阵的运算线性代数14第二章矩阵的运算线性代数证(5)因为A可逆,所以,又所以
4、三、用伴随矩阵求逆矩阵式(5)给出了求逆矩阵的方法,即先求,再套公式15第二章矩阵的运算线性代数例2-9求方阵的逆矩阵.解16第二章矩阵的运算线性代数同理可得故17第二章矩阵的运算线性代数证由例2-10设试证知18第二章矩阵的运算线性代数所以证毕利用例2-9,可以方便地求出二阶可逆方阵的逆矩阵,例如注:二阶方阵的伴随矩阵的求法:把原矩阵“主对调,负变号”即可.19第二章矩阵的运算线性代数例2-11设解20第二章矩阵的运算线性代数于是21第二章矩阵的运算线性代数注意:①由于矩阵乘法不满足交换律,用矩阵乘方程AXB=C两边时,必须同
5、时在左边乘.②对于高阶矩阵,用伴随矩阵法求是比较麻烦的.本章第五节中,将介绍用初等变换求的方法.22第二章矩阵的运算线性代数例2-1223第二章矩阵的运算线性代数24第二章矩阵的运算线性代数例2-13设,求解而故25第二章矩阵的运算线性代数26第二章矩阵的运算线性代数设为的次多项式,A为n阶矩阵,记称为矩阵A的m次多项式.因为矩阵、和E都是可交换的,所以矩阵A的两个多项式和总是可交换的,即总有从而A的几个多项式可以像数x的多项式一样相乘或分解因式,例如27第二章矩阵的运算线性代数我们常用例2-12中计算的方法来计算的多项式,这就
6、是(і)如果,则,从而(іі)如果为对称阵,则,从而28第二章矩阵的运算线性代数29第二章矩阵的运算线性代数四、小结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵存在伴随矩阵的概念.30第二章矩阵的运算线性代数思考题31第二章矩阵的运算线性代数思考题解答答32第二章矩阵的运算线性代数解得给方程两端右乘矩阵练习已知求X33第二章矩阵的运算线性代数
