《矩阵的广义逆》PPT课件.ppt

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1、矩阵的广义逆ThePseudoinverse矩阵的广义逆概述：矩阵的逆：Ann，Bnn，BA=AB=I,则B=A–1广义逆的目标：逆的推广对一般的矩阵Amn可建立部分逆的性质。当矩阵Ann可逆时，广义逆与逆相一致。可以用广义逆作求解方程组AX=b的理论分析。§4.1矩阵的左逆与右逆一、满秩矩阵和单侧逆1、左逆和右逆的定义定义4.1(P.93)ACmn，BCnm，BA=In，则称矩阵B为矩阵A的左逆，记为B=。例题1矩阵A的左逆A=。ACmn，CCnm，AC=Im，则称矩阵C为矩阵A的右逆，记为C=。2、左逆和右逆存在的条件的存在

2、性直观分析存在矩阵A列满秩=（AHA）–1AH定理4.1(P.93)设ACmn，下列条件等价A左可逆A的零空间N（A）={0}。mn，秩（A）=n，即矩阵A是列满秩的。矩阵AHA可逆。例题2求矩阵A=的左逆。矩阵右逆的存在性定理4.2(P.94)ACmn，则下列条件等价：矩阵A右可逆。A的列空间R（A）=Cmnm，秩（A）=m，A是行满秩的。矩阵AAH可逆=AH（AAH）–1讨论：可逆矩阵Ann的左、右逆和逆的关系可逆矩阵A的左、右逆就是矩阵A的逆AA–1=（AHA）–1AH=AH（AAH）–1二、单侧逆和求解线性方程组AX=b讨论AX=b有

3、解与左、右逆存在的关系。借助于左、右逆求AX=b的形如X=Bb的解。1、右可逆矩阵定理44(P.95)ACmn右可逆，则bCm，AX=b有解。X=b是方程组AX=b的解。二、单侧逆和求解线性方程组AX=b2、左可逆矩阵求解分析：定理43(P.94)设矩阵ACmn左可逆，B是矩阵A的任何一个左逆，则AX=b有形如X=Bb的解的充要条件是(Im–AB)b=0(¤)当(¤)式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是X=（AHA）–1AHb证明：讨论：对任何满足式(¤)的左逆B，X=Bb都是方程组的解，如何解释方程组的解是惟一的？§4.2广义逆矩阵思

4、想：用公理来定义广义逆。一、减号广义逆定义4.2(P.95)ACmn，如果，GCnm使得，AGA=A，则矩阵G为的A减号广义逆。或{1}逆。A的减号逆集合A{1}={A1–1，A2–1，，Ak–1}例题1ACnn可逆，则A–1A{1}；A单侧可逆，则A–1LA{1}；A–1RA{1}。减号逆的求法：定理4.5（P.95）减号逆的性质：定理4.6(P.96)二、Moore-Penrose（M-P）广义逆由Moore1920年提出，1955年由Penrose发展。1、定义4.3(P.98)设矩阵ACmn，如果GCnm，使得AGA=

5、AGAG=G（AG）H=AG（GA）H=GA则称G为A的M-P广义逆，记为G=A+。A–1=A+；A–1L=（AHA）–1AH=A+；A–1R=AH（AAH）–1=A+；若A+，则A+是A{1}。例题2讨论原有的逆的概念和M-P广义逆的关系。3、M-P广义逆的存在性及其求法定理4.8（P.99）任何矩阵都有M-P广义逆。求法：设A满秩分解A=BC，则A+=CH（CCH）–1（BHB）–1BH。（定理4.9）设A奇异值分解：，则2、M-P广义逆的惟一性定理4.9(P.98)如果A有M-P广义逆，则A的M-P广义逆是惟一的。例题1求下列特殊矩阵的广义逆；零矩阵

6、0；1阶矩阵(数)a；对角矩阵例题3设，求A+。0+m×n=0n×m例题2设向量的M-P广义逆。.4、M-P广义逆的性质定理4.12(P.100)：则A满足下列性质：（A+）+=A（A+）H=（AH）+（A）=+A+A列满秩，则A+=（AHA）–1AH，A行满秩，则A+=AH（AAH）–1。A有满秩分解：A=BC，则A+=C+B+。A+与A–1性质的差异比较：（AB）–1=B–1A–1，一般不成立（AB）+=B+A+。（只有满秩分解成立）（A–1）k=（Ak）–1，但不成立（A+）k=（Ak）+§4.3投影变换（为讨论A+的应用做准备）问题：逆在什么情

7、形下是有用的？一、投影变换和投影矩阵定义4.4（P.101）设Cn=LM，向量xCn,x=y+z，yL，zM，如果线性变换：CnCn，（x）=y，则称为从Cn沿子空间M到子空间L的投影变换。投影变换的矩阵R（）=L；N（）=M，Cn=R（）N（）L和M是的不变子空间；L=I；M=0投影的矩阵和变换性质：定理4.13（P.101）是投影是幂等变换推论：为投影变换的充要条件是变换矩阵是幂等矩阵二、正交投影和正交投影矩阵正交投影的定义：定义4.5（P.103）设：CnCn是投影变换，Cn=R（）N（），如果R

8、（）=N（），则称为正交投影。2正交投影矩阵定