广义逆矩阵ppt课件.ppt

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1、第七章广义逆矩阵广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切联系。给定一个线性方程组Ax=b，当矩阵A可逆时，线性方程组的解可表示为x=A-1b当矩阵A是奇异矩阵或不是方阵时，线性方程组的解应如何表示呢？当线性方程组是矛盾方程，或者说是不相容方程时，线性方程组能否有其它意义下的解，这种解又应当如何表示呢？把逆矩阵推广到不可逆方阵或长方矩阵上，这就是所谓的广义逆矩阵。广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵一致，而且广义逆矩阵可以给出线性方程组（包括相容的和矛盾方程组）各种解的统一形式。主要内容：1·广义逆矩阵及其分类2·A+的计算3·几类弱逆4·广义逆矩阵

2、与线性方程组的解广义逆矩阵方程设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的逆矩阵A-1，它具有如下性质：或者说，A-1是下述矩阵方程组的解---广义逆矩阵方程设若矩阵满足如下四个（Penrose)方程则称X为A的Moor–Penrose逆，记为A+例：容易由定义直接验算：若则存在性证明可以验证X满足广义逆矩阵方程设，A+存在且唯一，即广义矩阵方程组定理有唯一解设若则A是阶零矩阵，可以验证阶零矩阵满足四个方程。对于矩阵方程如果矩阵G仅满足其中的一个或几个时，可以定义不同的广义逆矩阵。因此，共可定义类不同的广义逆。由A+的存在性可知，15类广义逆都存在，除A+是唯一确定的外，其余各类广义逆矩阵都不唯一确定

3、。几类弱逆A{i}={

4、G满足第i个Penrose方程}对于矩阵，记A{i,j}={

5、G满足第i,j个Penrose方程}A{i,j,k}={

6、G满足第i,j,k个Penrose方程}广义逆集合各类广义逆的关系几种常用的广义逆矩阵A{1},它的形式记为A{1,2},它的形式记为A{1,3},它的形式记为A{1,4},它的形式记为--最小二乘广义逆--自反广义逆最小范数广义逆A{1}是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若AA-1A=A,则记广义逆A-说明：1)利用初等行变换，可以求得A-2）A的减号逆A-不唯一。例：设容易验证均满足故B，C都是A的减号逆.3)矩阵A有唯一的A-充分必

7、要条件是A为非奇异矩阵，此时A-=A-1定理A{1}的表示通式此定理表明：只要求出中的一个元素，就可得到中所有的元素。广义逆矩阵A+的计算：方法一利用满秩分解如果矩阵A有满秩分解A=BC，则有A+的表达式，即因此广义逆A+是通常逆矩阵概念的一种推广。广义逆矩阵A+与通常逆矩阵有许多类似的性质，但也有一些不同。如果A是非奇异矩阵，则并且由上面的公式计算出，从而如果矩阵A是行满秩的，A有满秩分解A=ImA，则A+的表达式为如果矩阵A是列满秩的，A有满秩分解A=AIn，则A+的表达式为特别地，设为n维列向量，且则设为n维行向量，且则例１：求广义逆例２：设求由A为列向量，即为列满秩，则从而若A既不是

8、行满秩也不是列满秩，则需首先对A进行满秩分解，再求例３：已知求矩阵A中分别有两行、两列对应成比例，因此A既不是行满秩也不是列满秩首先利用初等行变换求出A的Hermite标准型H为：设A的满秩分解为，则于是广义逆矩阵A+的计算：方法二－－奇异值法设矩阵的奇异值分解为A=UDVH其中U,V分别是m阶、n阶酉矩阵，则容易验证：其中利用此方法，需首先对A进行奇异值分解。例４：设求先求A的奇异值分解。因为为对应的特征向量为：令其中设则的特征值把扩充为的一组标准正交基得：再令则从而广义逆A+的性质设其中且11、设9、若有满秩分解式A=BC，则都是酉矩阵，则12、当A是Hermite矩阵时，举例说明广义逆

9、不具有通常意义下逆矩阵的下列性质：（4）A与A+的非零特征值并不互为倒数。（1）（2）（3）例证1由可得又B为满秩矩阵，则例证2可验证由可得考虑非齐次线性方程组其中给定，而为待定向量。若方程组是相容方程组；否则，称为矛盾方程组或不相容方程组。则线性方程组有解，则称该关于线性方程组的求解问题，常见的有以下几种情形：1）在相容时，若系数矩阵，且非奇异，即则有唯一解但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的解不唯一，我们可以利用减号逆给出方程组的通解。线性方程组求解2）如果方程组相容，且其解有无穷多个，可求出具有极小范数的解，即其中为欧氏范数，可以证明满足此条件的解是唯一的，称为极小范数解。3）若方程组不

10、相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际问题中，需要求出这样的解：其中为欧氏范数，称这个问题为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的x为矛盾方程组的最小二乘解。4）一般说来，矛盾方程组的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有最小范数的解是唯一的，称之为极小范数最小二乘解，或最佳逼近解.（一）相容方程组的通解为线性方程组的解的充分必要条件是我们已知相容，其中定理对于任意，都存在，使定理说明，对于任意的