广义逆矩阵知识节选

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1、广义逆矩阵知识节选李正慧（0940503210）目录广义逆的概念及行最简形矩阵的加号逆及其性质A的｛1｝逆与减号逆矩阵的其他逆及其相关内容范数及其相关知识广义逆的概念及行最简形TextTextText广义逆的概念对任意一个mXn的矩阵A，penrose（1955）用下面的四个方程定义A的广义逆：（1）AXA=A（2）XAX=X（3）(AX)*=AX（4）(XA)*=XA其中A*表示A的转置共轭阵，penrose证明了满足以上四个方程的的矩阵X是唯一的。welcometousethesePowerPointt

2、emplates,NewContentdesign,10yearsexperience请在此添加段落内容满足方程1的逆表示为A｛1｝逆，A｛1｝逆中其中一个元素为，标为减号逆或者1-逆.满足方程1,2的逆表示为A｛1，2｝逆，A｛1,2｝逆中其中一个元素为，标为自反减号逆或者｛1，2｝-逆.满足方程1,3的逆表示为A｛1，3｝逆，A｛1,3｝逆中其中一个元素为，标为最小范数广义逆或者｛1，3｝-逆.满足方程1,4的逆表示为A｛1，4｝逆，A｛1,4｝逆中其中一个元素为，标为最小二乘广义逆或者｛1，4｝-逆.

3、A｛1,2,3,4｝逆构成A的一个加号逆。行最简形满足以下三个条件的矩阵为行最简形：（1）每一行第一个非零元素为1（2）它是阶梯型矩阵（3）首非零元所在列其他元素都为零例：将A=化为行最简形→→→上式即为A的行最简形注：A的减号逆不唯一，举例说明：A=B=C=有ABA=A,ACA=A。所以，A的减号逆不唯一A的｛1｝与减号逆减号逆的性质A是mXn阶复数矩阵，则：（1）（2）P,Q为非奇异矩阵，则PAQ的减号逆等于Q逆、A的减号、逆P逆的乘积。定理：设A属于，A的减号逆是A｛1｝的一个特定逆，则：（1）A｛1

4、｝=｛+U-｝其中，U属于nXm阶复数矩阵（3）A的秩小于等于A的减号逆的秩（4）A列满秩等价于（5）A行满秩等价于（6）都是幂等矩阵（7）的值域和核都小于A由于证明过程较为简单，这里只简单证明下（2）和（3）证明(2)证明(3)例：判断下列线性方程组是否相容，若是，给出其通解表达式。A的减号逆与方程组的解定理一：A有Gb为AX=b的解，反之，对于都有Gb为AX=b的解，则G属于A的1-逆如何根据A的减号逆构造AX=b的通解？定理二：X=解：有之前的知识可算出Q=P=**=**=*=所以AX=b有解=*+-

5、y=+yA的自反减号逆若A满足（1）AXA=A，(2)XAX=X，则X属于A｛1,2｝,X为A的自反减号逆。例：求=矩阵的加号逆及其性质定理：例:A=用满秩分解求A的加号逆A（a1，a2，a3，a4）变成行最简形得：F=G=所以A=A为列满秩，求A的加号逆代入公式即可注：矩阵的其他逆及其相关内容定理一：范数及其相关知识一、向量范数向量范数的概念：设是n维的向量空间，若对中任意的响亮X都有一个实数与之对应且满足：范数的等价定义：二矩阵范数：几种常用的矩阵范数：与向量范数的相容性：谢谢观赏！