矩阵论 第八章 广义逆课件.ppt

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1、§8.1广义逆矩阵及其分类按照这一定义，广义逆矩阵可以分为满足其中一个方程的广义逆矩阵，满足其中两个方程的广义逆矩阵，满足其中三个方程的广义逆矩阵和满足全部方程的广义逆矩阵，因而共有15类广义逆矩阵。在上述十五类广义逆矩阵中，应用较多的是以下五种：由此自然会想到:下面就来回答这两个问题。再证充分性。证明：先证必要性。从而有（8.2.1）设再证充分性。而解：因此特别地，取，因此证明：由定理8.2.2知，故例则于是在Matlab中，可以用pinv(A)求出A的加号逆，但没有求减号逆的命令。定理8.2.3,定理8.2.4给出了在已知一个减号逆的条件下,求其余减号逆的方法。因此（

2、3）（4）利用矩阵的运算法则可直接验证其成立。下面我们来讨论求方程组的公式解问题。因此因此因此例8.2.2求方程的通解。对可逆矩阵,有由定理8.2.5知，因此，一般情况下§8.3自反广义逆则称是的自反广义逆，记作。或记定义8.3.1设，若矩阵使得中哪些满足？定理8.3.1设，若矩阵是的自反广义逆的充分必要条件是由定理8.2.2知，定理8.3.2：设是矩阵，，非奇异矩阵使得则是的自反广义逆充分必要条件是的任意矩阵。其中分别是例8.2设，求一个和一个非自反的减号逆.解：证明：即如果，则定理8.4.2证明：因此另一方面例8.4.1设求。解：定理8.4.3设，则的充分必要条件是满

3、足。定理8.4.4设，则的充分必要条件是可以表示成其中取,则定理8.4.5相容方程的极小范数解唯一存在。因此，即从而有定理8.4.5说明，虽然极小范数广义逆不唯一，但极小范数解唯一存在。例8.4.2设求的极小范数解。，证明：因此证明：因此解：因此定理8.5.5：矛盾方程组的通解是例8.5.2设求的最小二乘解。§8.6广义逆（1）（2）（3）（4）定义8.6.1设，若矩阵使得则称是的加号逆，记作。（1）（2）（3）（4）定理8.6.3设，是的满秩分解，则证明：容易验证，满足Penrose—Moore方程。求加号逆的方法：P184-188（1）利用满秩分解；（2）利用正交三角

4、分解（3）利用定理8.6.11Zlobec公式：（4）利用定理8.6.12加号逆的MATLAB的命令为pinv(A)。所求方程组的极小范数最小二乘解为