矩阵伪逆的一个等价定义及其应用-论文.pdf

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1、第13卷第3期江南大学学报(自然科学版)Vo1．13No．32014年6月JournalofJiangnanUniversity(NaturalScienceEdition)Jun．2014矩阵伪逆的一个等价定义及其应用周玉兴(广西师范学院师园学院，广西南宁530226)摘要：在Moore．Penrose逆的4个代数方程中两边取共轭转置，得到与之等价的定义。运用该等价定义，研究了矩阵A的自反广义逆、最小二乘广义逆、极小范数广义逆、Moore-Penrose逆，A{1，2，3}逆、A{1，2，4}逆及A{1，3，4}逆，得到了其间关系的若干充要条件。关键词：伪逆；

2、等价；矩阵中图分类号：O153．3文献标志码：A文章编号：1671—7147(2014)03—0371—03EquivalentDefinitionsofPseudo-InverseonMatrixandItsApplicationsZHOUYuxing(CollegeofShiyuan，GuangxiTeachersEducationUniversity，Nanning530226，China)Abstract：TakingtheconjugatetransposetofouralgebraicequationsoftheMoore—Penroseinvers

3、e，anequivalentdefinitionoftheMoore—Penroseinverseofmatrixisgained．Fnther，westudythereflexivegeneralizedinverse，theleastsquaresgeneralizedinverse，theminimumnormgeneralizedinverse，theMoore—Penroseinverse，A{1，2，3}inverse，A{1，2，4}inverseandA{1，3，4}inverseofmatrixA，andobtainseveralnecessa

4、ryandsufficientconditionsabouttheirrelationship．Keywords：pseudo—inverses，equivalent，matrix关于矩阵Moore—Penrose逆(亦称伪逆的定义。运用等价定义的特征，刻画几类广义逆矩pseudo．inverses)的等价定义有很多种“J，利用矩阵的关系，得到几个充要条件，推广了文献[1—4]的阵Moore—Penrose逆的等价定义可研究线性方程组一些结果。同时，也可作为文献[5-7]一种新的研究的最小二乘解和极小范数解的结构¨引。冯超玲工具。等研究了矩阵伪逆的两个等价定理及

5、其应用；吴1相关定义有为运用投影法求解矩阵最小二乘广义逆；杨运中等研究正则化最小二乘回归学习算法和误差定义1[1-3]设矩阵A∈C“，若存在唯一矩阵X∈收敛阶；吴有为通过初等行变换研究线性方程组C满足下列方程：①AXA=A；②XAX=；③AX=b的最小范数最小二乘解；周玉兴等运用列(AX)=AX；④(XA)：XA，则称为A的正交矩阵的定义和最小二乘广义逆的定义，基于矩Moore—Penrose逆或伪逆，记作A。若满足上述方阵QR分解，研究了线性方程组Ax=b的性质。程(i)，(J．)，⋯，(k)，则称为A的(i，J．，⋯，)逆，记文中在文献[1—4]的基础上，对

6、Moore—Penrose作A{i，，⋯，k}。例如，A{1，2，3}逆、A{1，2，4}逆。逆的4个代数方程两边取共轭转置，得到与之等价在定义1中，若满足式(1)，则称为A的广收稿日期：2013—11—25；修订日期：2014—01—14。基金项目：广西省自然科学基金项目(2011GXNSFA018139)。作者简介：周玉兴(1973一)，男，壮族，广西邕宁人，讲师，理学硕士。主要从事数值代数和矩阵分析研究。Email：ehowyusung@163．com372江南大学学报(自然科学版)第l3卷义逆；若满足式(1)和式(2)，则称为A的自反A=AA。广义逆；若

7、满足式(1)和式(3)，则称为A的最显然，上述过程是可逆的。小二乘广义逆；若满足式(1)和式(4)，则称为由定理2和定理1中的3)得A的极小范数广义逆j。推论1X为A的极小范数广义逆，当且仅当A=对定义1中4个方程两边取共轭转置得：XAA或A：AA。1)AXA=Ac=~AXA=A：定理3x为A的极小范数广义逆，当且仅当2)XAX=甘A=X：A：AAX或A=XAA。3)(AX)：AXe(XA)=XA；证为A的极小范数广义逆，所以AA=4)(XA)=XA~(AX)=AX。A，A=(A)。于是，A=AXA=定义2设矩阵A∈C，∈C，若存在唯一矩A(XA)=AAX，即A

8、=AAX。对A：阵X∈C