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1、矩阵的广义逆及其应用摘要:矩阵的广义逆,即Moore-Penrose逆,在众多理论与应用科学领域,例如微分方程、数值代数、线性统计推断、最优化、电网络分析、系统理论、测量学等,都扮演着不可或缺的重要角色。本文首先介绍了广义逆的定义以及广义逆的性质,主要内容是矩阵广义逆的应用,包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用,广义逆的Cramer法则和广义逆的计算,并对部分理论给出简单的解释,同时加以举例说明。关键词:分块矩阵;广义逆;Moore—Penroce逆;Cramer法则.ThegeneralizedinversematrixanditsapplicationAbstract:Thege
2、neralizedinverseofmatrix,i.e.theinverseofMoore-Penrose,playsanindispensableroleinmanyfieldsoftheoriesandappliedsciences,suchasdifferentialequation,numericalalgebra,linearstatisticalinference,optimization,theanalysisofelectricalnetwork,systemtheoryandsurveying,etc.Thethesisintroducesthedefinitio
3、nandthepropertyofthegeneralizedinverseforthefirstplace,anditsprimarycontentistheapplicationofgeneralizedinversematrixincludingitsallkindsofapplicationsintheblockmatrixtheory,itsCramerruleanditscalculation.Besides,briefexplanationsaregiventosometheorieswithillustrations.Keywords:blockmatrix;gene
4、ralizedinverse;inverseofMoore-Penrose;Cramerrule.1引言-17-矩阵的广义逆概念是由美国学者E.H.Moore首先提出的,但在此后的30多年里,矩阵的广义逆很少被人们所注意,直到1955年英国学者R.Penrose利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的简洁实用的新定义之后,广义逆矩阵的理论与应用才进入了迅速发展的时期。半个世纪以来,在众多理论与应用科学领域都扮演着不可或缺的重要角色。陈永林,张云孝,杨明,刘先忠,徐美进等在文献[1],[2],[12],[14]中给出了矩阵广义逆的定义,还对部分定义进行了举例证明。罗自炎,修乃华,杨明等又在文
5、献[8],[14]中给出了矩阵广义逆的各种定理;而陈明刚,燕列雅,李桃生,姜兴武,王秀玉,吴世,杜红霞,刘桂香等又分别在文献[4],[6],[9],[13],[16]中对矩阵广义逆进行了推广,介绍了分块矩阵的广义逆以及循环矩阵的广义逆。张静,徐美进,徐长青,杜先能,蔡秀珊,崔雪芳等又在文献[3],[12],[15],[17],[18]中给出了矩阵广义逆的计算方法,并加以举例说明。同时还提出了广义逆的Cramer法则及其应用。潘芳芳,梁少辉,赵彬等又在文献[5],[11]中介绍了Quantale矩阵的广义逆及其正定性。鲁立刚,何永济,王自风,赵梁红等则在文献[7],[10]介绍了Fuz
6、zy矩阵广义逆的性质和应用。本文在上述工作的基础上,总结了广义逆的定义以及广义逆的性质,给出矩阵广义逆在数学中的应用,包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用,广义逆的Cramer法则和广义逆的计算,并对部分理论给出简单的解释,对一些重要的结论给出典型例题加以说明。2.矩阵广义逆的定义及其推导2.1定义定义1.对于任意复数矩阵,如果存在,满足Moore—Penroce方程则称为的一个Moore—Penroce广义逆,或简称加号逆,记作=。如果某个只满足其中某几条,则称它为的某几条广义逆。如若有某个满足(1)式,则称为的{1}广义逆,或简称减号逆,记作=。如果Y满足(1)和(2)式,则称为
7、的广义逆,记作Y{1,2}。例1.设当时,可逆,且;当时,不可逆,且不难验证。注意到,这说明的元素并非是关于的元素的连续函数。一般地,把的元素的变化引起其秩的变化时,这种非连续性将会发生。例2.设矩阵为矩阵。若,定义;当时,()。定义2.设为行列矩阵,若其中,的级数相同,则。-17-(1-1)其中为行列式中元素的代数余子式,则称为的广义伴随矩阵。定义2.设为行列矩阵,若,则称为一广义非奇异矩阵;若,则称为一广义奇异矩阵。2.2方程的理论推导命题1.。证明: