矩阵的逆及其应用

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1、矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ-１。二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为B-1A-1，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。若Ａ１，Ａ２，…，Ａｍ都是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１Ａ２…Ａｍ也可逆，且（Ａ１Ａ２…Ａｍ）-１＝（Ａｍ）-１…（Ａ２）-１（Ａ１）-１.

2、2、若A可逆，则A-1也可逆，且（A-1）-1=A；3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λA）-1=1λA-1；4、若A可逆，则AT也可逆，且（AT）-1=（A-1）T；5、A'-1=A-1'；6、矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。㈠逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉｎ等价。３、ｎ阶矩阵Ａ可逆

3、的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。二、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ-１。例１、求矩阵Ａ＝２２３１-１０-１２１的逆矩阵。解：∵｜Ａ｜≠０∴Ａ-１存在设Ａ-１＝ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３，由定义知Ａ-１Ａ＝Ｅ，∴２２３１-１０-１２１ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ

4、２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３＝100010001　由矩阵乘法得２ｘ１１＋２ｘ２１＋３ｘ３１２ｘ１２＋２ｘ２２＋３ｘ３２２ｘ１３＋２ｘ２３＋３ｘ３３ｘ１１-ｘ２１ｘ１２-ｘ２２ｘ１２-ｘ２３-ｘ１１＋２ｘ２１＋ｘ３１-ｘ１２＋２ｘ２２＋ｘ３２-ｘ１３＋２ｘ２３＋ｘ３３＝100010001由矩阵相乘可解得ｘ１１＝１ｘ２１＝１ｘ３１＝-１；ｘ１２＝-４ｘ２２＝-５ｘ３２＝６；ｘ１３＝-３ｘ２３＝-３ｘ３３＝４故A-1=1-4-31-5-3-164㈠、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝（ａｉｊ）可逆的充要条件｜Ａ｜

5、≠０，而且当ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，Ａ-１＝１ＡＡ*，其中Ａ*为伴随矩阵。注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意Ａ*＝（Ａｊｉ）ｎ×ｍ元素的位置及符号。特别对于２阶方阵Ａ＝ａ１１ａ１２ａ２１ａ２２，其伴随矩阵Ａ*＝ａ２２-ａ１２-ａ２１ａ１１，即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。②对于分块矩阵ＡＢＣＤ不能按上述规律求伴随矩阵。例１、已知Ａ＝１０１２１０-３２-５，求Ａ-１。解：∵｜Ａ｜＝２≠０∴Ａ可逆，由已知得Ａ１１＝

6、-５，Ａ１２＝１０，Ａ１３＝７　　　Ａ２１＝２，Ａ２２＝-２，Ａ２３＝-２　　　Ａ３１＝-１，Ａ３２＝２，Ａ３３＝１Ａ-１＝１｜Ａ｜Ａ*＝１２-５２-１１０-２２７-２１＝-５２１-１２５-１１７２-１１２㈠、行（列）初等变化法设ｎ阶矩阵Ａ，作ｎ×２ｎ矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，若把子块Ａ变为Ｉｎ，则子块Ｉｎ将变为Ａ-１，即初等变换［Ｅ，Ａ-１］。注释：①对于阶数较高（ｎ≧３）的矩阵，采用初等行变换求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便，在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换。②也可以利用ＡＥ初等

7、列变换ＥＡ-１求得Ａ的逆矩阵。③当矩阵Ａ可逆时，可以利用Ａ，Ｂ初等行变换Ｅ，Ａ-１Ｂ，ＡＣ初等列变换ＥＣＡ-１求得Ａ-１Ｂ和ＣＡ-１，这一方法的优点是不需要求出Ａ的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了Ａ-１Ｂ和ＣＡ-１。例１、用初等行变换求矩阵Ａ＝２３１０１３１２５的逆矩阵。解：Ａ，Ｅ＝２３１０１３１２５　１０００１０００１→１２５０１３２３１　００１０１０１００→１２５０１３００-６　００１０１０１１-２→１２５０１３０-１-９　００１０１０１０-２→１２５０１３００１　００１０１０-１６-

8、１６１３→１０００１０００１　–１６-１３６４３１２３２-１-１６-１６１３㈠、用分块矩阵求逆矩阵设Ａ、Ｂ分别为Ｐ、Ｑ阶可逆矩阵，则：ＡＣＯＢ-１＝Ａ-１-Ａ-１ＣＢ-１ＯＢ-１ＡＯＤＢ-１＝Ａ-１Ｏ-Ｂ-１ＤＡ-１Ｂ-１ＡＯＯＢ-１＝Ａ-１ＯＯＢ-１ＯＡＢＯ-１＝ＯＢ-１Ａ-１Ｏ例１、已知Ａ＝００００５２２１１-２１１００００，求Ａ-１。解：将Ａ分块如下：Ａ＝００００⋮⋮５２２１⋯⋯⋯⋯⋯１-２１１⋮⋮００００＝ＯＡ１Ａ２Ｏ其中Ａ１＝５２２１Ａ２＝１-