凸函数等价性讨论

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1、2003年3月广西师范学院学报(自然科学版)Mar.2003第20卷第1期JournalofGuangxiTeachersCollege(NaturalScienceEdition)Vol.20No.1文章编号:100228743(2003)0120031204凸函数等价性讨论王飞(广西师范学院数学与计算机科学系,广西南宁530001)摘要:该文综合了凸函数已有的成果,获得了一个新命题,并论证了各个命题的等价性.关键词:凸函数;等价;命题中图分类号:O174.13文献标识码:A文[1]～[6]中已给出了凸函数一些等价命题,本文广泛地综合了各篇文章所给命题,对个别命

2、题作了改进,其中(11)是本文的新结果,并给出了等价性证明的简便方法.定理设f(x)在(a,b)上有定义,则以下17个条件相互等价:[1](1)若Px1,x2∈(a,b)及Pλ∈(0,1),有f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)[1](2)Pqi≥0:q1+q2+⋯+qn=1,Px1,x2,⋯,xn∈(a,b),有f(q1x1+q2x2+⋯+qnxn)≤q1f(x1)+q2f(x2)+⋯+qnf(xn).[2](3)Ppi≥0(i=1,2,⋯,n)不全为零,Px1,x2,⋯,xn∈(a,b),有p1x1+p2x2+⋯+pnxnp1f(x

3、1)+p2f(x2)+⋯+pnf(xn)f≤.p1+p2+⋯+pnp1+p2+⋯+pn[3]f(x2)-f(x1)f(x3)-f(x2)(4)Px1,x2,x3∈(a,b),x1

4、△=1x2f(x2)≥0.1x3f(x3)[3](8)Px0∈(a,b),f′-(x0)与f′+(x0)皆存在,且对Px∈(a,b),有f(x)≥f′-(x0)(x-x0)+f(x0)及f(x)≥f′+(x0)(x-x0)+f(x0).[3](9)Px∈(a,b),f′-(x)与f′+(x)皆存在,且有f′-(x)≤f′+(x),Px1,x2∈(a,b),x1

5、[4](12)f′-(x),f′+(x)在(a,b)上存在且单调上升,Px0∈(a,b),有xxf(x)-f(x0)=∫f′-(t)dt=∫f′+(t)dt.xx00[3](13)存在(a,b)内递增的函数φ(x),以及x0∈(a,b),使得Px∈(a,b),恒有xf(x)-f(x0)=∫φ(t)dt.x0收稿日期:2002203228·32·广西师范学院学报(自然科学版)第20卷[3](14)f(x)有(a,b)上连续,Px1,x2∈(a,b),恒有x1+x2f(x1)+f(x2)f≤.22[3](15)f(x)在(a,b)上连续,Px1,x2∈(a,b),x1

6、

7、3-x1x3-x2x2-x1x3-x2x2-x1则由论断(3)知f·x1+·x3≤f(x1)+f(x3)]x3-x1x3-x1x3-x1x3-x1x3-x2x2-x1f(x2)≤f(x1)+f(x3)](3)x3-x1x3-x1-(x2-x1)x2-x1f(x2)≤+1f(x1)+f(x3)]x3-x1x3-x1-(x2-x1)x2-x1f(x2)-f(x1)≤f(x1)+f(x3)]x3-x1x3-x1f(x2)-f(x1)f(x3)-f(x1)≤x2-x1x3-x1f(x3)-f(x1)f(x3)-f(x2)同理由(3)式得≤,由传递性知(4)成立.x3-x1

8、x3-x2