凸函数的性质的讨论开题报告

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1、开题报告凸函数的性质的讨论一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）凸函数是凸分析的重要研究对象，包括凸函数的基本性质、运算、连续性等。凸函数的研究结果已在许多领域得到了广泛应用，例如在不等式、泛函分析、最优理论、运筹学、控制论及数理经济等中。可以说，凸函数是一类非常重要的函数，在不等式中的研究尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了。凸性是一种几何性质，也是一种代数性质，函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上的整体性态，不仅可以更加

2、科学、准确的描绘函数的图像，而且有助于对函数的定性分析。常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧度总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧度总在这两点连线下方的函数。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题下面我们先给出凸函数的一些定义：定义1设为定义在区间上的函数，若对上任意两点和实数，总有（1）则称为上的凸函数。反之，则称为凹函数。如上式中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数。注1：容易证明，

3、若为区间上的凸函数，则为区间上的凹函数，故只须讨论凸函数的性质即可。下面给出凸函数的两个等价定义。定义2设在区间上有定义，，且，有成立，则称为凸函数。定义3设在区间上有定义，，且，有成立，则为上的凸函数。为了从较高的起点来给出凸函数的定义，清晰地看出凸函数与凸性的联系，先给出凸集的两个定义。定义4某集合称为凸集，是指连接该集合中的任何两点的连接直线段上的点都在该集合中。定义5设是一个线性空间，为任意两点，称为连接的闭线段。定义6设是一个线性空间，子集称为凸集，是指对及有或定义7设为定义在中的开区间上的实值函数，

4、这里满足。则下列集合称为函数的上图。定义8如果函数的上图是凸集，则称为上的凸函数。有了凸函数的定义，下面我们再给出它的一些性质：性质1若为凹函数且，，则为凸函数；反之不成立，即若为凸函数，不一定为凹函数。证根据假设，要证明为凸函数，只要证明，，有（2）事实上，因为凹函数，故有（3）所以从而，要证明（2）只要证明（4）即可，注意到，可得（4）式显然成立，从而（2）式成立。这说明为凸函数。另一方面，当为凸函数时，不一定为凹函数，例如，为凸函数，但仍为凸函数。性质2设为上的凸函数，则亦为凸函数。证若，或，则显然为凸函

5、数。下面用凸函数的定义证明本定理。只要证明：，，有（5）分三种情况讨论：（i）当时，因为凸函数，故此时，因，则，故（5）式成立。（ii）当时，若，则（5）式显然成立。若，则有，从而（5）式成立。（iii）当时，令，从而有。由凸函数的性质5、性质6及介值定理得，存在使，；（6）而，（7）当时，（5）式显然成立，当时，所以此时（5）式显然成立，这样无论哪种情况（5）式都成立，从而为凸函数。性质3若在区间，对，则：①时，在区间上为凸函数；②时，在区间上为凹函数。性质4若在区间上为凸函数，对,则：①时，为上的凸函数；②

6、时，为上的凹函数。注2：性质4中有一个不为零时，即为性质3。性质5设为上的凸函数，则也是凸函数。证利用凸函数的定义，设，，则，有从而即是凸函数。性质6设与都是上的非负单调递增的凸函数，则也是上的凸函数。证对且，因与在上单调递增。故即（8）又因与为上的凸函数，故，而,,将上面两个不等式相乘,可得再由（8）知由凸函数的定义知，是上的凸函数。注3：（1）非负不能少。例如，，，均为凸函数，但，显然不是凸函数，原因是为负。（2）单调递增不能少。例如，，在上是非负凸函数，但，不是上的凸函数，原因是是单调递减的。性质7设是单

7、调递增的凸函数，是凸函数，则复合函数也是凸函数。证因是单调递增的凸函数和是凸函数，得，，，故，所以是凸函数。三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标研究的方法与技术路线：通过阅读一些相关文献，总结归纳出一些浅显易懂的有关凸函数的定义、等价定义、性质及定理，并利用它们来证明一些应用初等知识难以证明的初等不等式、积分不等式，其中有些不等式是极为重要的，由此可以使我们对凸函数的性质有一个更好的理解。研究难点：虽然利用凸函数的定义、性质及判定定理证明不等式显得巧妙、简练，关键是找到能够解决问题的凸函数，如无法

8、直接找到，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的，但是我们发现，很多时候去寻找合适的凸函数并不容易，即便是将不等式经过变形。预期达到的目标：凸函数是函数中比较重要的一类函数，在现实生活中应用的比较广泛，在很多数学问题的分析与证明中都要用到凸函数的性质去简化证明，通过对凸函数一些简单性质的基本研究，从而归纳出怎么较简便的找到合适的凸函数去简化证明，和归纳出一系列可行的方法