凸函数的性质的讨论文献综述

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1、文献综述凸函数的性质的讨论一、前言部分凸性是一种几何性质，也是一种代数性质。凸函数则是一类性质独特的函数。凸性和凸函数在不等式、泛函分析、最优化理论、运筹学、控制论及数理经济学等应用数学领域都有很多应用。在不等式的研究中，凸函数显得尤为重要，而不等式最终又归结为研究函数的性质，所以研究凸函数的性质就变得十分必要了。在阅读了一些有关凸函数性质的文献的基础上，本文整理出了一些基本的定义、性质及定理，同时也罗列了一些利用其定义、等价定义、性质及判定定理证明不等式的例题，这些例题如果用常规方法去求解将会非常棘手。由此，再一次说明了利用凸函数及凸性证明一些不等式显得巧妙、简练。1、凸函

2、数的定义定义1设为定义在区间上的函数，若对上任意两点和实数，总有则称为上的凸函数。反之，则称为凹函数。如上式中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数。注1：容易证明：若为区间上的凸函数，则为区间上的凹函数，故只须讨论凸函数的性质即可。下面给出凸函数的两个等价定义。定义2设在区间上有定义，，且，有成立，则为凸函数。定义3设在区间上有定义，，且，有成立，则为上的凸函数。为了从较高的起点来给出凸函数的定义，清晰地看出凸函数与凸性的联系，先给出凸集的两个定义。定义4某集合称为凸集，是指连接该集合中的任何两点的连接直线段上的点都在该集合中。定义5设是一个线性空间，

3、为任意两点，称为连接的闭线段。定义6设是一个线性空间，子集称为凸集，是指对及有或.定义7设为定义在中的开区间上的实值函数，这里满足.下列集合.称为函数的上图.定义8如果函数的上图是凸集，则称为上的凸函数。二、主题部分2、凸函数的性质性质1若为凹函数且，,则为凸函数；反之不成立，即若为凸函数，不一定为凹函数。证明根据假设，要证明为凸函数，只要证明，，有(2)事实上，因为凹函数，故有(3)所以从而，要证明（2）只要证明（4）即可，注意到，可得（4）式显然成立，从而（2）式成立。这说明为凸函数。另一方面，当为凸函数时，不一定为凹函数，例如，为凸函数，但仍为凸函数。性质2设为上的凸函

4、数，则亦为凸函数。根据凸凹函数的定义，很容易得到以下性质。证明若，或，则显然为凸函数。下面用凸函数的定义证明本定理。只要证明：，，有.（5）分三种情况讨论：（i）当时，因为凸函数，故.此时，因，，故（5）式成立。（ii）当时，若，则（5）式显然成立。若，则有，从而（5）式成立。（iii）当时，令，从而有。由凸函数的性质5、性质6及介值定理得，存在使，；（6）而，.（7）当时，（5）式显然成立，当时，.所以此时（5）式显然成立，这样无论哪种情况（5）式都成立，从而为凸函数。性质3若在区间，对，则：①时，在区间上为凸函数；②时，在区间上为凹函数。性质4若在区间上为凸函数，对,则：

5、①时，为上的凸函数；②时，为上的凹函数。注2：性质4中有一个不为零时，即为性质3。性质5设为上的凸函数，则也是凸函数。证明利用凸函数的定义，设，，则，有，，从而，即是凸函数。性质6设与都是上的非负单调递增的凸函数，则也是上的凸函数。证明对且，因与在上单调递增。故.即.（8）又因与为上的凸函数，故，.而,,将上面两个不等式相乘,可得.又由（8）知.由凸函数的定义知，是上的凸函数。注3：.非负不能少。例如，，，均为凸函数，但，显然不是凸函数，原因是为负。.单调递增不能少。例如，，在上是非负凸函数，但，不是上的凸函数，原因是是单调递减的。性质7设是单调递增的凸函数，是凸函数，则复合

6、函数也是凸函数。证明因是单调递增的凸函数和是凸函数，故，，，故，显然，所以是凸函数。以上是凸函数的一些性质，下面我们来谈谈凸函数的判定定理。3定理定理1设，且在上可导，为凸函数的充要条件为：在内为递增函数。定理2设，且在上二阶导数存在，则为凸函数的充要条件为：.证明由定理1可知，为上的凸函数等价于在内为增函数。由于在上二阶导数存在，故在上可导，从而可得在上递增的充要条件是，定理得证。定理3设，且在上可导，则为凸函数的充要条件为：，有，.注4：定理3的几何意义是：曲线总在它的任一切线的上方。定理4设为区间上的可导函数，则为凸函数的充要条件为：.定理5若对和，且，则为凸函数的充要

7、条件为：.注5：该不等式通常称为不等式。推论1设在区间上是凸函数，则对于和任意正数，都有.定理6为上的凸函数的充要条件是：对上任意三点，总有.其几何意义是：为凸函数的充要条件为在曲线上自左至右依次任取三点，上式表明连线的斜率不大于连线的斜率。定理7函数为凸函数的充要条件是为中的凸集。证明必要性设是凸函数，而。则，。于是，对任意的，由凸性可得：，这表明。因而集合是中的凸集。充分性设是中的凸集，，。注意到，，由集合的凸性，可得：，由集合的定义，可得，，因此是上的凸函数。推论2设为凸集，那么，为凸函数的充要条