【数学与应用数学专业】【毕业论文】凸函数性质的讨论

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1、（20__届）本科毕业论文凸函数性质的讨论摘要：在本文中，我们首先介绍了凸集、凸函数的定义等；接着我们又给出了凸函数的一些基本性质及其判定方法；最后，我们研究了凸函数的不等式在不等式证明中的应用。关键词：凸集；凸函数；凸性；不等式ThediscussionofpropertiesofconvexfunctionAbstract:Inthispaper,wefirstlyintroduceconvexset,convexfunctionisdefined,etc.Andthenwealsogivesom

2、ebasicpropertiesofconvexfunctionanditsdeterminantmethods.Finally,westudytheapplicationsofJenseninequalityofconvexfunctioninprovinginequalities.Keywords:convexset;convexfunction;convexity;Jenseninequality目录1序言11.1论文选题的背景、意义11.2相关研究的成果及动态12凸集22.1凸集的基本概念22

3、.1.1凸集与凸组合22.1.2代数运算52.1.3凸锥62.2凸集上的投影72.3凸集的分离定理103凸函数123.1凸函数的定义123.2凸函数的性质133.3凸函数的判定定理223.4凸函数的应用264凸函数的次微分和共轭函数344.1凸函数的次微分344.2共轭函数35总结37致谢38参考文献391序言1.1论文选题的背景、意义凸函数是凸分析的重要研究对象，包括凸函数的基本性质、运算、连续性等。而凸分析和非光滑分析是20世纪60年代至80年代相继发展形成的现代数学分支。作为描述和解决非光滑问题

4、的有力工具，它们在非线性最优化、多目标决策、最优控制、对策论、变分学、逼近理论以及数理经济等领域都有着广泛的应用。事实上凸分析主要研究的凸函数（凸泛函）在通常意义下是非光滑的，因此从这一意义上说，凸分析也是非光滑分析的组成部分和重要基础，而非光滑分析则是凸分析研究的延伸和发展。1.2相关研究的成果及动态凸函数的研究结果已在许多领域得到了广泛应用，例如在不等式、泛函分析、最优化理论、运筹学、控制论及数理经济等领域。可以说，凸函数是一类非常重要的函数，在不等式的研究中尤为重要，而不等式的研究最终归结为研究

5、函数的性质，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了。常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数。有关凸函数的研究理论十分丰富，许多未知的领域正等待着我们去探索。382凸集2.1凸集的基本概念2.1.1凸集与凸组合定义2.1.1设，如果对任意，有，则称为凸集。由定义可以看出，所谓凸集就是这样的集合，它的任意两点的连线都在集合中，可以说凸集具有明显

6、的几何意义。定理2.1.1设是任意指标集，是凸集，则的交是中的凸集。证明若为空集或单点集，结论显然成立。假设，则。由于是凸集，则对于，有，故，所以是凸集，定理得证。定义2.1.2设，则点称为的一个凸组合。凸组合是凸分析中的一个重要概念，它与凸集有密切联系。定义2.1.1意味着凸集就是“其中任意两点的凸组合仍属于它本身的集合”。而实际上，我们也可以通过任意有限点的凸组合来定义凸集，下面的定理就刻画了这样一个事实。定理2.1.2是凸集的充要条件是中所有元素的凸组合还在中。证明设是凸集，，我们将证明的凸组合

7、属于。对用数学归纳法。当时，结论显然成立；当时，由凸集的定义，结论也成立。设结论在时成立，要证明对于满足，如果，38则.不失一般性，假设，这时，.根据归纳法假设，这是因为，上式为的凸组合，再由凸集的定义，有.另一方面，设集合中元素的所有凸组合都在自身中，则的任意两个元素的凸组合也在中，于是是凸集，定理得证。定义2.1.3中集合的凸包是由中的一切凸组合形成的集合，记为，换言之，当且仅当可表示为，其中，为一正整数。很容易验证，的凸包是包含的最小凸集。事实上，不难验证它是包含的所有凸集的交集。凸包也是一个给

8、定非凸集合进行凸化的手段。中有限点集，其中的凸包由形如的向量构成，其中，且有，亦可表示为，它是空间中的一个凸多面体。由定义2.1.3知，凸包是由的所有有限多个点的凸组合构成的集合，但定义2.1.3没有对构成这个凸组合所需的点数给出任何限制，实际上，对于维空间中的集合，只需至多38个点的组合就可以表示中的点，下面的定理就揭示了这样的事实。定理2.1.3（定理）设，则的凸包中的任意一点可以表示成中至多个点的凸组合，即对任意，存在常数以及，满足，使得.（2.1