凸函数的性质与应用

《凸函数的性质与应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给岀了凸函数的几个重要性质，最后举例说明了凸函数在微积分和不等式证明中的应用.关键词：凸函数的积分性质；凸函数的不等式AbstractInthispaper,firstlywelistseveralkindsofdefinitionforconvexfunctions,thenwegiveseveralimportantpropertiesaboutconvexfunctions,finallywediscusstheapplicationsofconvexfunc

2、tionindifferentialcalculusandtheproofofinequality.Keywords：integralpropertiesofconvexfunctions;inequalityofconvexfunctions目录摘要IAbstractII0引言11凸函数的概念12凸函数的判定23凸函数的性质44凸函数的应用104.1凸函数在数学分析中的应用104.2利用凸函数的性质证明不等式135小结15参考文献160引言凸函数是一类非常重要的函数,其概念最早出现在Jensen［1

3、905］编写的文献中.自20世纪初建立凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在数学等其他领域获得广泛应用•诸如模具设计、运筹与控制理论等方面具有重要的理论和实践意义.同时它在基础数学和应用数学的众多领域中被广泛应用，现己成为数学规划、对策论、数理经济等学科的理论基础和有力工具•文献卩］,作者给出了凸函数的8种定义，其次，凸函数也是一种性质特殊的函数⑴阴，截止目前，对凸函数的研究已经从定义的研究42倒凸性的研究再到凸性应用方面的研究.对函数凸凹性的研究，在数学中的多个分支都有用处，于是研究凸函数的一些性质

4、就显得十分必要了.1凸函数的概念函数/（x）=x2图彖的特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的线段下方一般地，设函数/⑴在区间［⑦切上有定义若曲线）y/⑴上任意两点间的弧段总位于两点连线段的下方，则称函数/（兀）是凸函数.图行表示如下（见以上定义仅对凸函数作了直观描述，下面我们给出精确定义.定义1设/（尢）在区间/上有定义,畑在区间/上为凸函数当且仅当V%px2g/,VAg(0,1),有/［彼+（1-A）x2］<2/（兀

5、）+（1-A）/（x2）上式屮改成“V”则是严格凸函数的定义.定义2设/

6、（兀）在区间/上有定义，/（兀）在区间/上为凸函数当且仅当"州+吃］

7、的判定定理.定理1函数/⑴是区间（加时上的凸函数的充要条件为对于（加‘）上的任意三点x},x2,x3（X）2）在区间/上任取两点坷，兀2匕<兀2）,对充分小的正数力，由于£-h

8、力）v/（勺）一/（西）v/（花+力）一/（兀2）hx2-%!h因/（X）是区间/上的可导函数，令力T（T可得/V.)3）在以X）,x2（Xj八西）（兀2一兀I）移项后得/（x2）>/（%,）+/,（x1）（x2-%1）H当西>兀2时仍可得到相应的结论.3）=>1）任取区间I上的任意两点X］,X2（x,

9、兀3=加1+（1-2）兀2,其中0VQV1,由3）并利用兀］—兀3=（1—2）（兀］—兀2）与兀2-冯=2（兀2-兀1）得/（兀1）»/（兀3）+/©3）（兀1-兀3）=/（兀3）+（1-2）门乞）（兀1-兀2）/（x2）>/（x3）4-/,（x3）（x2-x3）=/（x3）+2/,（x3）（x2-xi）分别用2和1-2乘以上述两式并相加，便得2/（兀

10、）+（1-久）/（兀2）/（兀3）=/（加

11、+（1-2）x2）则/（兀）是区间/上的凸函数.定理3设