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1、（20__届）本科毕业设计数学与应用数学凸函数的性质与应用15正文目录1引言………………………………………………………………………12凸函数的各种定义及判别法……………………………………………12.1凸函数的定义……………………………………………………12.2凸函数的判别法………………………………………………………33凸函数的性质………………………………………………………33.1凸函数的运算性质……………………………………………………33.2凸函数的分析性质…………………………………………………44凸函数的应用……………………………………………………
2、………64.1凸函数在不等式中的应用………………………………………………64.2凸函数在高中数学中的应用……………………………………………9参考文献……………………………………………………………………………1315摘要：凸函数是数学分析中一类非常重要的函数.本文主要对凸函数的定义,判别法,性质进行探究,特别是凸函数的分析性质,然后给出利用凸函数解题的一些例子.关键词:凸函数;连续性;导数;不等式;应用1引言凸函数是数学分析中一类非常重要的函数,其定义和性质在理论和实践中都有着极其重要的作用,而且它们的应用范围之广,价值之高也是有目共睹的.因此,在后来
3、数学的发展史中对凸函数的等价定义,性质和应用的研究一直是人们研究的重点.在学者们日渐深入的研究中,关于凸函数的理论越来越多,研究的方向也越来越细,学者们不单单研究凸函数在具体学科中的应用,还研究其在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,在高中数学中的应用,在不等式中的应用等等.在前人研究的基础上,本文首先给出华东师范大学主编的《数学分析》（上册）中凸函数的定义以及几个常用的等价定义;其次给出若干个凸函数的判别法,同时辅以相应的例题;再次给出凸函数的一些运算性质和分析性质;最后通过具体例题展示凸函数在解题中的应用,特别是在高中数学解题中的应用.通
4、过本文的研究,可以使我们更好,更清楚的看到凸函数定义之间的联系和区别,以及其某些性质在解决数学问题中的重要作用,真正的感受到凸函数的魅力所在.2.凸函数的各种定义及判别法2.1凸函数的定义由于不同的教材中凸函数定义略有不同,本论文所采用的是如下的定义.定义1[1]设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点,和任意实数（0,1）总有:,则称f为I上的凸（凹）函数.特别地,当上述不等式严格时,称f为I上的严格凸（凹）函数.几何形状如下图所示:凸函数凹函数15由这一基本定义出发,人们还给出了很多等价定义,如:假设等价定义1[1],,,,,则称为I上的凸
5、函数.其几何意义:弦的斜率是单调递增的.证明:[必要性]记,则.由f的凸性知道,从而有,,整理后即得.[充分性]在I上任取两点,（）,在上任取一,,即.由必要性的推导逆过程,可证得,故f为I上的凸函数.等价定义2[22],,,有,则称为I上的凸函数.等价定义3[22]若在内存在单调递增函数,,,有,则称为凸函数.等价定义4[22]若,…,,,则称为I上的凸函数.等价定义5[22]为区间上凸函数的充要条件是:对任意的,,函数15为[0,1]上的凸函数.2.2凸函数的判别法判别法1[6]设为区间I上的二阶可导函数,则在I上为凸函数的充要条件是:,.判别法
6、2[6]函数在区间I可导,在区间I内是凸函数曲线)位于它们的任意一点切线的上方.判别法3[6]在(a,b)上可导,则为凸函数的充要条件为在(a,b)上单调增,为严格凸函数的充要条件为在(a,b)上严格递增.3凸函数的性质3.1凸函数的运算性质性质1[2]若为凸函数,则为凹函数,反之亦然.性质2[2]若,为凸函数,,,则,亦为凸函数.性质3[2]若为凸函数,为单调增加的凸函数,则亦为凸函数.性质4 若为凹函数且,,则为凸函数;反之不成立,即若为凸函数,不一定为凹函数.证明：根据假设,要证明1/f(x)为凸函数,只要证明x,y∈,λ∈(0,1),有（1）
7、事实上,因f(x)>0为凹函数,故有（2）所以.从而,要证明(1)只要证明15（3）即可.注意到可得(3)式显然成立,从而(1)式成立.这说明1/f(x)为凸函数.另一方面,当f(x)>0为凸函数时,1/f(x)不一定为凹函数,例如f(x):,>0为凸函数,但仍为凸函数.3.2凸函数的分析性质性质1[9]若为开区间I内的凸（凹）函数,证明在I内任一点都存在左,右函数.证明:下面只证凸函数在存在右导数,同理可证也存在左导数和为凹函数的情形.设,则对（这里取充分小的,使得,由引理中的式有:.令,故由上式可见F为增函数.任取且,则对任何,只要,也有,由于上
8、式左端是一个定数,因而函数在上有下界.因此极限存在,即存在.性质2[9]若是定义在区间I上的凸函数,则在区间
